第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法：位移法和应力法，并结合简单的三维问题，根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件，满足则为问题真解。弹性体都是三维的，而受力（外力）一般也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某种特殊形状。例如：一个方向的尺寸远比其他两个方向的尺寸大的多或小的多，并且承受某种特殊规定的外力和约束，则可以把空间问题（三维）作为近似的平面问题（二维）处理，这将使分析和计算大大简化，而所得结果也能满足工程上对精度的要求。
第1节
平面问题的分类
平面问题在工程中极为常见，而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。下面将它们分类简要说明一下。11平面应力问题固体的形状特点：物体一个方向尺寸比其它两个方向尺寸小的多（等厚度薄板）x2。x3tox1
1
x2
f受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分布，体力f3fz0面力
X3Z0，在薄板表面无面力，坐标系（x1x2x3）放在板厚中间平面
中平面，以z或x3）轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。由物体几何特点和受力特点知：在z±
t处，2
XYZ0

σzτzxτzy0。
由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则近似认为在V内认为
σzτzxτzy0。
平面应力问题：应力分量仅存三个
σxσxxyσyσyxyτxyτxyxy均为xy的函数，
待求。将应力分量代入各向同性材料的本构关系存在四个应变分量待求量：εxεyγxyεz（其中位移分量待求量：uxyvxy（考虑平面内位移）平面应力问题待求未知函数一共八个：3个应力＋3个应变＋2个位移12平面应变问题形状特点：物体一个方向尺寸（z或x3）比其它两个方向（xy或x1x2）大的多，如水坝、涵洞。x1xx3z
εz不独立）
x2y
2
f受力和约束情况：沿z或x3）轴方向无变化，体力f3fz面力X3Z0，这样x3
0，
zco
st面均可看成对称面，对称结构受
对称荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为零，即
w0εz0γzxγzy0
所以平面应变问题：应变分量仅有三个位移分量两个：uxy应力分量：σx
εxεyγxyγyx，
vxy，
不独立）。
σyτxyσz（其中σz
平面应变问题待求未知函数仍然八个：3应力＋3应变＋2位移。
第2节平面问题的基本方程和边界条件
21平衡微分方程（2个）平r