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第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法:位移法和应力法,并结合简单的三维问题,根据问题的特点,猜想问题的应力解或位移解,并验证猜想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件,满足则为问题真解。弹性体都是三维的,而受力(外力)一般也是空间力系,但如果所研究弹性体具有某种特殊形状。例如:一个方向的尺寸远比其他两个方向的尺寸大的多或小的多,并且承受某种特殊规定的外力和约束,则可以把空间问题(三维)作为近似的平面问题(二维)处理,这将使分析和计算大大简化,而所得结果也能满足工程上对精度的要求。
第1节
平面问题的分类
平面问题在工程中极为常见,而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。下面将它们分类简要说明一下。11平面应力问题固体的形状特点:物体一个方向尺寸比其它两个方向尺寸小的多(等厚度薄板)x2。x3tox1
1
x2
f受力和约束特点:沿厚度(x3方向)均匀分布,体力f3fz0面力
X3Z0,在薄板表面无面力,坐标系(x1x2x3)放在板厚中间平面
中平面,以z或x3)轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。由物体几何特点和受力特点知:在z±
t处,2
XYZ0

σzτzxτzy0。
由于薄板很薄,表面三个应力分量为零,则近似认为在V内认为
σzτzxτzy0。
平面应力问题:应力分量仅存三个
σxσxxyσyσyxyτxyτxyxy均为xy的函数,
待求。将应力分量代入各向同性材料的本构关系存在四个应变分量待求量:εxεyγxyεz(其中位移分量待求量:uxyvxy(考虑平面内位移)平面应力问题待求未知函数一共八个:3个应力+3个应变+2个位移12平面应变问题形状特点:物体一个方向尺寸(z或x3)比其它两个方向(xy或x1x2)大的多,如水坝、涵洞。x1xx3z
εz不独立)
x2y
2
f受力和约束情况:沿z或x3)轴方向无变化,体力f3fz面力X3Z0,这样x3
0,
zco
st面均可看成对称面,对称结构受
对称荷载和约束,则此对称面处的位移和变形为零,即
w0εz0γzxγzy0
所以平面应变问题:应变分量仅有三个位移分量两个:uxy应力分量:σx
εxεyγxyγyx,
vxy,
不独立)。
σyτxyσz(其中σz
平面应变问题待求未知函数仍然八个:3应力+3应变+2位移。
第2节平面问题的基本方程和边界条件
21平衡微分方程(2个)平r
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