应力求解的基本方程为（平面应力问题）
σr1τrθσrσθfr0rθrrτrθ1σθ2τrθfθ0rθrr2σσ1νfr1fθfrrθrrrθ
其中
2112＝2rrr2θ2r
2
力的边界条件如前所列。
18
应力函数解法
当体力为零frfθ0时应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的
未知函数
φrθ
表示而应力函数
φrθ
所满足方程为
4φrθ0
或
211222φ0rrr2θr
而极坐标系下的应力分量σr
σθτrθ由φrθ的微分求得即：
，
12φ1φσr2rθ2rr
2φσθ2r
，
τrθτθr
1φ1φ12φ2rrθrθrrθ
第2节轴对称问题
21轴对称问题的特点
12
截面的几何形状为圆环、圆盘。受力和约束对称于中心轴因此，可知体积力分量
fθ0；在边
4
f界上
3
rr0
：Fθ0uθ0（沿环向的受力和约束为零）。
导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
在V内
uθ0，γrθ0，τrθ0ururr，σrσrrσθσθrεrεrrεθεθr
各待求函数为r的函数（单变量的）。
22
轴对称平面问题的基本公式
1
dσrσrσθfr0平面微分方程（仅一个）：rr
r几何方程（二个）εr：dr
du
2
，
εθ
urr
3变形协调方程（一个）：
12εrr2θ2
12121εrrεθ2rγrθ0rr2rθrrr
1d21dεrrεθ02rdrrdr

drεθεr变形协调方程dr
由几何方程：rεθ
ur

dudrεθrεrdrdr
或
4物理方程两个
dεθεrεθdrr
5
f平面应力问题εr
1σrνσθ，E
或
σr
Eεrνεθ，1ν2
1σθνσrEEσθεθνεr1ν2
εθ
平面应变问题时弹性系数替换。
5按位移法求解
将
σr、σθ
用ur表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
σr
uEdurνrr1ν2dr
σθ
位移法的基本方程为：
duEurνrdr1ν2r
d2ur1durur1ν2fr0rdrr2Edr2
2d1d1νrurfr0drrdrE
相应边界条件：轴对称问题边界rr0（常数）
位移边界条件：力的边界条件：
urur
σr±Fr
在在
susσ
上上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
u1ν2durνr±FrEdrr
在
sσ
上
当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均
6
f可求出。
6按应力法解
应力r