①如果BPBA，那么5t10．解得t＝1．
BQBC
84t8
②如果BPBC，那么5t8．解得t32．
BQBA
84t10
41
图3
图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝4，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．5
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以ACCD，即684t．解得t7．
QCPD4t3t
8
f挑战压轴题
马学斌编著
图5
图6
（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．
由于H是PQ的中点，HFPD，所以F是QD的中点．
又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．
因此F是BC的中点，E是AB的中点．
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BPBC，t32．
BQBA
41
如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BPBA，t＝1．BQBC
如图9，当⊙H与AC相切时，直径PQPD2QD23t288t2，
半径等于FC＝4．所以3t288t28．
解得t128，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．73
图7
图8
图9
图10
f挑战压轴题
马学斌编著
例32015年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线y1x21b1xb（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交
44
4
于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC
是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说
明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的
任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如
果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B的坐标为b0，点C的坐标为0b．4
（2）如图2，过点P作r