测与另一种推测，区别理由较多的推测与理由较少的推测，如果你把注意力引导到这两种区别上来，那么就会对这两者有更清楚的认识。
在探讨完两种推理之后，本书又通过一些典型例子（如：给定边数，在已知圆中求内接多边形的最大面积，把一长为L的直线分成几段，求这几段乘积的最大值，已知盒子的表面面各，求其最大容积。算术平均与几何平均定理等）的研究，并且把极大和极小问题归纳为几类：1平面几何中的最小和最大距离。2空间几何中的最小和最大距离。3平面上的等高线问题。4空间中的等值面。我们可以注意到，这些问题大都是些极大和极小的问题，我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定的时间内做最大的功。我们甚至倾向于设想，世界万物按我们的意愿行事，能以最小的努力获得最大的效果。
如果你确实理解并感兴趣于你已经解决的一个问题，那么你就会得到一种宝贵的东西：一个模式，或一个模型，以后可模仿它去解决类似的问题，如果你想这样做，如果你这样做时获得了成功，如果你考虑到成功的理由，考虑到从已解决的问题去类推，考虑到解决这类问题能够达到的有关条件等等，那么你就可以提出一个模式，提出这样的模式以后，你便真的有所发现，总之，你就有机会获得一些必要的层次和便于应用的问题。
本书还讲述了与极大和极小有关的等周问题如：一个多边形，除一边外，已知其相邻的各边长度，求其最大面积及已知一个角用一条已知长度的线切割它，求其最大面积这类问题比其他较为困难的数学问题更吸引人，这可能是出于十分朴素的理由，尽管每个人都有他自己的问题，。我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，获者在一定的时间内做最大的功，当然，我们还希望冒最小的风险，本书关于极大和极小的问题给出了等周定理的三种形式：1所有等周长的平面图形中，以圆的面积最大。2所有等面积的平面图形中，以圆的周长最小。3所有的平面曲线中，以圆的等同商最大。
关于等周问题，笛卡儿通过圆，正方形，矩形，等边三角形等十个图形，都具有想同的面积，圆具有最短的周长。在具有相等体积的所有立方体中，球具有最小的表面面积。我们把这个命题称作“空间等周定理”已经证明成功的许多结论，使得等周定理变得更加合乎推理逻辑。能够帮助我们预料其他的许多类似应用和问题，关于定理的推导又引起了进一步的新问题，在立体几何和数学物理r