习惯于将学习者的“原有知识”作为某种总体性的知识结构，学习就是“新知识”与这种“总体结构”以“同化”或“顺应”的方式发生联系。这样解释并不完全错误，但实际上学习者在学习“新知识”时，“新知识”并不直接与“总体结构”发生联系，更多的是直接与原有的知识体系中的“类型结构”发生联系，并与原有的“类型结构”之间发生“同化”或“顺应”（尽管也间接地与“总体结构”发生联系）。如果说以前人们对“学习”的定义是“新知识与原有知识之间的同化或者顺应”，那么波利亚所强调的“类比”重新将“学习”定义为“新知识与原有的某类知识之间发生同化或顺应”。在享受到类比方法解决大大小小问题时的那种给予我们帮助的乐趣。
本书第三章系统的介绍了立体几何中的归纳推理（典型例子通过猜想多面体面、顶点和棱的数来归纳证明欧拉公式FVE2）和第十一章更多种类的合情推理。这两种推理之间之间的差异相当大而且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的，合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。论证推理在科学中的渗透深度恰好和数学在科学中的渗透深度一样，但是论证推理本身（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理。论证推理有被逻辑（形式逻辑或论证逻辑）所制定和阐明的严格标准，而逻辑则是论证推理的一种理论。合情推理的标准是不固定的，并且这种推理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认。
f数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅合证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的；只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。
两种推理：论证推理和合情推理，在我看来它们之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试。而在合情推理之中，首要的事情是区别一种推r