《数学与猜想》读书报告
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以论文、报告等形式考核专用二○一一～二○一二学年度第二学期
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专业年级教育硕士（数学）2010级
题目：《数学与猜想》读书报告
教师评语：
f《数学与猜想》读书报告
最近我阅读了波利亚著《数学与猜想》第一卷数学中的归纳与类比。这是一本谈古论今，内容丰富多彩，启发读者去提炼问题，研究问题，讨论问题，直至检验问题的书。本书通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，读起来感到妙趣横生，引人入胜，能使人看到数学中真正的内在美。
在数学与猜想这本书里，有三章讨论了归纳法的相关内容。第一章探讨了归纳方法，归纳法常常从观察开始，一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论感兴趣的数学家会观察整数1，2，3，4，5…的性质。我们应该考察所收集到的观察结果，对它们加以比较和综合，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容，在完全作出了详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性工作成果是论证推理即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。考察一个猜想的结论并根据这种考察的结果来判断猜想是否可靠，是一种典型的归纳方法，归纳法能导致错误这个道理太明显了，但是值得注意的是，尽管出现错误的机会占据绝大多数，归纳法有时却能导出真理，我们应当从归纳失败的明显例子开始研究。归纳法能说明所得的结果可靠，但决没有证明它一定可靠，可以看到用归纳法考察的结果，在数学的其它方法注意特殊情形的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发一般性的证明方法。
第四章探讨了数论中的归纳方法，讨论了边长为整数的直角三角形（在什么情况下一个奇素数才是边长为整数的直角三角形的斜边长？在什么条件下不是？两种情形有何区别？最后得出猜想4N1形式的素数可以是边长为整数的直角三角形的斜边长，4N3的形式不是）。在数论的历史中它起过重要作用，它使人引出许多别的问题。例如，哪些数（不管本身是不是平方数）能表成平方和？不能表成平方和的数有什么性质？是否还能表成三个平方数之和？还有，不能表成三个平方和的数又有哪些数？要用多少个平方数来表示所有的自然数？最后得出了四方定理即方程
x2y2z2w2最后讨论了关于四奇数平方和问题，对于任何自然数，或者本身是平方数，或者总是r