两个，三个或四个平方数之和，关于四奇数平方和问题。
第七章通过对数学归纳法的了解我知道了数学归纳与通常的归纳有什么关系？在检验一个猜想时，我们研究猜想适合的不同情形，希望知道猜想所主张的关系是否在任何情形下都是稳定的，也就是说不依赖于各种不同的情形，即不受各种情形的干扰，自然而然地我们注意到从这种情形到另一种情形的飞
f跃。物理学家牛顿具体化了一个从抛射体运动到行星动的连续飞跃，他着手去证明万有引力定律，而先考虑应该同样适用万有引力定律的两种情形之间的飞跃。在证明某个初等定定理时要用数学归纳法，考虑从
到
1的飞跃，也就是两种情形之间的飞跃。同时数学归纳法是一种论证的方法，通常用在证明数学上的猜想，而这种猜想是我们用某种归纳方法所获得的。
本书第二章讲的是一般化、特殊化、类比。在数学解题中强调“类比”并非波利严的奇思异想。“类比”原本是人类日常的思维方式。人类在日常生活中大量地以“类比”（广义上的“类比”包括“比喻”，尤其是“隐喻”、“比拟”，甚至包括“象征”）的方式说话。“类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方式和最高的科学成就。类比在各种不同的层次上得到应用。”只是当科学研究或哲学研究过于迷恋于逻辑思维、“论证推理”（波利亚将推理分为“论证推理”与“合情推理”）时，“类比”才从哲学以及数学等科学研究领域中淡出。结果，“类比”只是保留在“日常语言”以及“诗化语言”中。“当诗人把少女比作花朵时，他们感到其某些相似性”。波利亚苦心孤诣地在数学解题中倡导“类比”思维，可以说是在开发出一条“诗化数学语言”或“日常数学语言”的道路。这样看时，他在数学解题活动中倡导“类比”与其说是一种“新思维”，不如说是对人类日常思维的一种恢复和返回。“类比”也可以理解为“新旧知识”之间的联系，此时“类比”相当于奥苏贝尔（AusubelD）的“一言以蔽之”，即学习者通过寻找自己已经知道了什么来解决新的问题。不过，波利亚的“类比”除了探明自己已经知道了什么之外，它更重视已知中的某个“类型”知识。这种“类型”化的知识具有“结构”的功能，它暗示学习者需要将自己的知识保持某种“结构”。而且，这里的“结构”不只是某种总体上的“知识结构”（可称之为“总体结构”），它更是系列的“类型”化的小型的知识结构（可称之为“类型结构”）。人们在谈论“新旧知识的关系”时，r