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因为直线bx-ay=0与圆x-52+y2=5相切,则5b=5,即a2=4b24分b2+a2
x22解得a=4,b=1,所以椭圆C的方程是+y=15分4
22
2设直线l的方程为y=kx+mm≠0,点Ax1,y1,Bx2,y2,将直线l的方程代入椭圆方程,得x2+4kx+m2=4,即4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0,4m2-48km则x1+x2=-2,x1x2=27分4k+14k+1y1y2(kx1+m)(kx2+m)由已知,k2=k1k2==,则k2x1x2=kx1+mkx2+m,x1x2x1x28k2m2即kmx1+x2+m2=0,所以-2+m2=0,即1-4k2m2=04k+111因为m≠0,则k2=,即k=±,从而x1+x2=2m,x1x2=2m2-210分42
2222222所以OA2+OB2=x21+y1+x2+y2=x1+kx1+m+x2+kx2+m22222=k2+1x21+x2+2kmx1+x2+2m=k+1x1+x2-2x1x2+2kmx1+x2+2m
5=4m2-22m2-2-2m2+2m2=5为定值.12分421.本小题满分12分已知函数fx=ex-ax-1,a∈R,e为自然对数的底数.1若存在x0∈1,+∞,使fx0<0,求实数a的取值范围;2若fx有两个不同零点x1,x2,证明:x1+x2>x1x2【解析】1解法一:f′x=ex-a1分10页
f①若a≤0,因为ex0,则f′x0,此时fx在R上单调递增.当x∈1,+∞时,fx>f1=e>0,不合题意.2分②若a>0,由f′x0,得exa,即x>l
a,则fx在l
a,+∞上单调递增,在-∞,l
a上单调递减,所以fxmi
=fl
a=el
a-al
a-1=a2-l
a.4分
l
a1,据题意,则l
a>2,即ae2,所以a的取值范围是e2,+∞.5分a(2-l
a)0,
ex解法二:当x∈1,+∞时,由fx<0,得exax-1,即a1分x-1设gx=exx1,据题意,当x∈1,+∞时,a>gx能成立,则agxmi
2分x-1
ex(x-1)-ex(x-2)ex因为g′x==x1,3分(x-1)2(x-1)2则当x>2时,g′x0,gx单调递增;当1<x<2时,g′x0,gx单调递减.4分所以gxmi
=g2=e2,故a的取值范围是e2,+∞.5分
ex1=a(x1-1),2由题设,fx1=fx2=0,即则ex1ex2=a2x1-1x2-1,ex2=a(x2-1),
即ex1+x2=a2x1x2-x1-x2+1.7分要证x1+x2>x1x2,只要证ex1+x2a2,即证x1+x22l
a,即证x12l
a-x28分不妨设x1<x2,由1可知,ae2,且x1<l
a<x2,从而2l
a-x2<l
a因为fx在-∞,l
a上单调递减,所以只要证fx1f2l
a-x2,即证fx2f2l
a-x2.9分设hx=fx-f2l
a-x,则a2-h′x=f′x+f′2l
a-x=ex-2a+e2l
ax=ex+x-2a≥2ea2exx-2a=0,e
所以hx在R上单调递增.因为x2>lr
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