因为直线bx－ay＝0与圆x－52＋y2＝5相切，则5b＝5，即a2＝4b24分b2＋a2
x22解得a＝4，b＝1，所以椭圆C的方程是＋y＝15分4
22
2设直线l的方程为y＝kx＋mm≠0，点Ax1，y1，Bx2，y2，将直线l的方程代入椭圆方程，得x2＋4kx＋m2＝4，即4k2＋1x2＋8kmx＋4m2－4＝0，4m2－48km则x1＋x2＝－2，x1x2＝27分4k＋14k＋1y1y2（kx1＋m）（kx2＋m）由已知，k2＝k1k2＝＝，则k2x1x2＝kx1＋mkx2＋m，x1x2x1x28k2m2即kmx1＋x2＋m2＝0，所以－2＋m2＝0，即1－4k2m2＝04k＋111因为m≠0，则k2＝，即k＝±，从而x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－210分42
2222222所以OA2＋OB2＝x21＋y1＋x2＋y2＝x1＋kx1＋m＋x2＋kx2＋m22222＝k2＋1x21＋x2＋2kmx1＋x2＋2m＝k＋1x1＋x2－2x1x2＋2kmx1＋x2＋2m
5＝4m2－22m2－2－2m2＋2m2＝5为定值．12分421．本小题满分12分已知函数fx＝ex－ax－1，a∈R，e为自然对数的底数．1若存在x0∈1，＋∞，使fx0＜0，求实数a的取值范围；2若fx有两个不同零点x1，x2，证明：x1＋x2＞x1x2【解析】1解法一：f′x＝ex－a1分10页
f①若a≤0，因为ex0，则f′x0，此时fx在R上单调递增．当x∈1，＋∞时，fx＞f1＝e＞0，不合题意．2分②若a＞0，由f′x0，得exa，即x＞l
a，则fx在l
a，＋∞上单调递增，在－∞，l
a上单调递减，所以fxmi
＝fl
a＝el
a－al
a－1＝a2－l
a．4分
l
a1，据题意，则l
a＞2，即ae2，所以a的取值范围是e2，＋∞．5分a（2－l
a）0，
ex解法二：当x∈1，＋∞时，由fx＜0，得exax－1，即a1分x－1设gx＝exx1，据题意，当x∈1，＋∞时，a＞gx能成立，则agxmi
2分x－1
ex（x－1）－ex（x－2）ex因为g′x＝＝x1，3分（x－1）2（x－1）2则当x＞2时，g′x0，gx单调递增；当1＜x＜2时，g′x0，gx单调递减．4分所以gxmi
＝g2＝e2，故a的取值范围是e2，＋∞．5分
ex1＝a（x1－1），2由题设，fx1＝fx2＝0，即则ex1ex2＝a2x1－1x2－1，ex2＝a（x2－1），
即ex1＋x2＝a2x1x2－x1－x2＋1．7分要证x1＋x2＞x1x2，只要证ex1＋x2a2，即证x1＋x22l
a，即证x12l
a－x28分不妨设x1＜x2，由1可知，ae2，且x1＜l
a＜x2，从而2l
a－x2＜l
a因为fx在－∞，l
a上单调递减，所以只要证fx1f2l
a－x2，即证fx2f2l
a－x2．9分设hx＝fx－f2l
a－x，则a2－h′x＝f′x＋f′2l
a－x＝ex－2a＋e2l
ax＝ex＋x－2a≥2ea2exx－2a＝0，e
所以hx在R上单调递增．因为x2＞lr