33排序不等式
更上一层楼基础巩固1如下图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和
思路分析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知当然由图我们可知阴影面积a1b1a2b2而空白面积a1b2a2b1根据顺序和≥反序和可知答案答案：≥2设a、b、c为某一三角形三边长，求证：a2bcab2cabc2abc≤3abc思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如fxx2
在R单调递增，fx1在R单调递减x
证明：不妨设a≥b≥c，易证abca≤bcab≤cabc由排序原理得a2bcab2cabc2abc≤abcabbcabccabca3abc3对abc∈R比较a3b3c3与a2bb2cc2a的大小思路分析将式子理解为积的形式a2ab2bc2ca2bb2cc2a再依大小关系可求解解：取两组数abc；a2b2c2不论abc的大小顺序如何，a3b3c3都是顺序和，a2bb2cc2a都是乱序和；故由排序原理可得a3b3c3≥a2bb2cc2a
4求证正实数a1a2…a
的任一排列为a1′a2′…，a
′，则有a1a2a
≥

a1a2
a

思路分析本题考查如何将和的形式构造为积的形式本题关键是将
理解为
个1相加而
把1理解为x1的形式这种方法有普遍的应用应该加以重视x
证明：取两组数a1a2…a
；11…1
a1a2
a

其反序和为a1a2a
，原不等式的左边为乱序和，有a1a2a
≥

a1a2
a

a1a2
a

5已知abc∈R，求证：a12b12c12≥a10b10c10bccaab
思路分析可以发现左右两边的次数相等因此应该进行适当的拼凑使其成为积的形式
1
f证明：不妨设a≥b≥c0则1110且a12≥b12≥c120bccaab
则a12b12c12a12b12c12bccaababbcab
a11b11c11a11b11c11a10b10c10bcaabc
6设a1a2…a
是12…
的一个排列，求证：
12
1a1a2a
1
23

a2a3
a

思路分析：在证明不等式时，要掌握对数字的一个变形，合理构造，才会使题迎刃而解证明：设b1b2…b
1是a1a2…a
1的一个排列，且b1b2…b
1c1c2…c
1是a2a3…a
的一个排列且c1c2…c
1
则111且b1≥1b2≥2…b
1≥
1；c1≤2c2≤3…c
1≤

c1c2
c
1
利用排序不等式有：a1a2a
1b1b2b
112
1
a2a3
a
c1c2
c
123


7设a，b，c都是正数，求证：
（1）a2b2≥ab；baba
（2）abc2；bccaab3
（3）111≤a8b8c8
abc
a3b3c3
r