柯西不等式、排序不等式与数学归纳法
一、选择题每小题3分共18分
考前过关训练35分钟60分
1函数y2

的最大值为
A
B
C3
D3
【解析】选Dy
1
≤
3
当且仅当

即x0时等号成立
2已知实数abcd满足abcd3a22b23c26d25则a的最大值是
A1
B2
C3
D4
【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解
【解析】选B由柯西不等式得
2b23c26d2
≥bcd2
即2b23c26d2≥bcd2
当且仅当时等号成立
又bcd3a2b23c26d25a2故5a2≥3a2解得1≤a≤2即a的最大值是23一组实数为a1a2a3设c1c2c3是另一组数b1b2b3的任意一个排列则a1c1a2c2a3c3的A最大值为a1b1a2b2a3b3最小值为a1b3a2b2a3b1B最大值为a1b2a2b3a3b1最小值为a1b3a2b1a3b2C最大值与最小值相等为a1b1a2b2a3b3D以上答案都不对【解析】选Da1a2a3与b1b2b3的大小顺序不知无法确定其最值4对于正整数
下列说法不正确的是
fA3
≥12

B09
≥101

C09
101

D01
≥109

【解析】选C由贝努利不等式知选项C不正确
52016菏泽高二检测已知xyz1则2x23y2z2的最小值为
A
B
C
D
【解析】选D由柯西不等式得
2x23y2z2
≥xyz21
所以2x23y2z2≥
62016苏州高二检测已知xyz∈R且1则x的最小值为
A5
B6
C8
D9
【解析】选D由柯西不等式知
≥11129

因为1所以x≥9
即x的最小值为9二、填空题每小题4分共12分
7已知点P是边长为2的等边三角形内一点它到三边的距离分别为xyz则xyz所满足的关系式为________x2y2z2的最小值是______【解析】利用三角形面积相等得
×2xyz×22即xyz3由111x2y2z2≥xyz29得x2y2z2≥3当且仅当xyz1时取等号答案xyz338如图所示矩形OPAQ中a1≤a2b1≤b2则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和
f【解析】由题干图可知阴影部分的面积a1b1a2b2而空白部分的面积a1b2a2b1根据顺序和≥逆序和可知a1b1a2b2≥a1b2a2b1答案≥92016聊城高二检测凸
边形有f
条对角线则凸
1边形对角线条数f
1与f
的递推关系为________【解析】凸
1边形比凸
边形对角线条数多
1所以凸
边形有f
条对角线则凸
1边形对角线条数f
1与f
的递推关系为f
1f
1答案f
1f
1三、解答题每小题10分共30分10已知abc∈R求证≥a10b10c10【解题指南】可以发现左右两边的次数相等因此应该进行适当的拼凑使其成为积的形式【证明】不妨设a≥b≥c0则≥≥0且a12≥b1r