分
F0

故△AOB的外接圆的方程为x2y229x3y0．…………………………………44
15分19．（本小题16分）
已知函数gx1l
x在1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），si
x
fxmxm1
lx，m∈R．x
（1）求θ的值；（2）若fxgx在1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设hx

2ex
，若在1，e上至少存在一个
x0
，使得
f
x0
gx0

hx0成立，求m
的取值范围．
5
f解：（1）由题意，gx


si

1

x2

1x
≥0
在1
上恒成立，即
si
si

xx2
1
≥
0
．………
1分
∵θ∈（0，π），∴si
0．故si
x1≥0在1上恒成立，…………………
2分
只须si
11≥0，即si
≥1，只有si
1．结合θ∈（0，π），得π．……2
4分
（2）由（1），得fxgx
mxm2l
xx
．
f
x

gx

mx2
2xx2

m
．…………
5分
∵fxgx在其定义域内为单调函数，
∴mx22xm≥0或者mx22xm≤0在1，＋∞）恒成立．………………………6分
mx22xm≥0
等价于
m1

x2

≥
2x
，即
m
≥
1
2xx2
，
而
2xx21

x
2
1
，（
x
2
1
）max1，∴m≥1．
…………………………………………
x
x
8分
mx2

2x

m
≤
0
等价于
m1

x2

≤
2x
，即
m
≤
1
2xx2
在1，＋∞）恒成立，
而2x∈（0，1，m≤0．x21
综上，m的取值范围是01．………………………………………………
10分
（3）构造Fxfxgxhx，Fxmxm2l
x2e．
x
x
当m≤0时，x1e，mxm≤0，2l
x2e0，所以在1，e上不存在一
x
x
个
x0
，
使
得
f0x0g成x0
h
14分
立．………………………………………………………12分
当
m0时，Fx

m

mx2

2x

2ex2

mx2
2xmx2

2e
．…………………………
因为x1e，所以2e2x≥0，mx2m0，所以Fx0在x1e恒成立．
故
Fx在1e上单调递增，
Fxmax

Fe

me

me
4
，只要me

me

4

0
，
6
f解得
m

4ee21
．
16分
故
m
的取值范围是

4ee2
1


．………………………………………………………
20．（本小题16分）
已知等差数列a
的首项为a，公差为b，等比数列b
的首项为b，公比为a，其中a，
b都是大r