高考数学新题型选编（共70个题）
1、（Ⅰ）已知函数：fx2
1x
axa
x0
N求函数fx的最小值
（Ⅱ）证明
ab




ab2



a0b0
N

；


2
（Ⅲ）定理若a1a2a3ak均为正数则有
a1a2a3ak


a1a2a3akk



成立
k
其中k
2kNk为常数

．请你构造一个函数gx，证明：
a1a2a3ak1



当a1a2a3akak1均为正数时，
k1

a1a2a3ak1k1



．
解：（Ⅰ）令fx2
1
x
1
ax
10得2x
1ax
12xaxxa…2分
当0
xa
时，2x
xa
fx0
故
fx
在0a上递减．
当xa
fx0
故
fx
在a上递增．所以，当xa时，
fx
的最小值为fa0…4分
（Ⅱ）由b0，有
ab


fbfa0
即
fb2

1
abab0


故

ab2



a0b0
N

．………………………………………5分
a1a2a3ak1k1
2
（Ⅲ）证明要证：
a1a2a3ak1



k1




只要证：k
1

1
a1a2a3ak1a1a2a3ak1




设gx
k1

1
a1a2a3xa1a2a3x




…………………7分
则gxk
1

1

x

1

a1a2akx

1
令gx0得x

a1a2akk
……………………………………………………8分
当0
x
a1a2akk
时，gx

kxx

1

a1a2akx

1
f
a1a2akx

1

a1a2akx

1
0
故gx在
0
a1a2akk
上递减，类似地可证gx在

a1a2akk

递增
所以当x

a1a2akk
时，gx
的最小值为g
a1a2akk

………………10分
a1a2akk
而g
a1a2akk
k1

1
a1a2ak


a1a2akk
a1a2ak





k1k


1
ka1a2aka1a2akk1a1a2r