高考数学常见的新题型选编（共70题）
1、（Ⅰ）已知函数：fx2
1x
axa
x0
N求函数fx的最小值
a
b
ab
a0b0
N；22
a
a2a3
ak
aaaak
123成立（Ⅲ）定理若a1a2a3ak均为正数则有1kk
（Ⅱ）证明其中k2kNk为常数．请你构造一个函数gx，证明：当a1a2a3akak1均为正数时，

a1
a2a3ak1aa2a3ak1
1．k1k1
解：（Ⅰ）令fx2
1
x
1
ax
10得2x
1ax
12xaxxa…2分当0xa时，2xxa
fx0
故fx在0a上递减．
当xafx0故fx在a上递增．所以，当xa时，fx的最小值为fa0…4分（Ⅱ）由b0，有fbfa0故即fb2
1a
b
ab
0
a
b
ab
a0b0
N．………………………………………5分22

a
a2a3ak1aa2a3ak1
1（Ⅲ）证明要证：1k1k1


只要证：k1
1a1a2a3ak1a1a2a3ak1

设gxk1
1a1a2a3x
a1a2a3x
…………………7分
则gxk1
1
x
1
a1a2akx
1
a1a2ak……………………………………………………8分kaa2ak当0x1时，gx
kxx
1
a1a2akx
1k
令gx0得x

a1a2akx
1
a1a2akx
10
a1a2akaaak上递减，类似地可证gx在12递增kkaa2akaaak所以当x1时，gx的最小值为g12………………10分kkaaakaaak
aaak
而g12k1
1a1
a2
ak
12a1a2ak12kkkk1
1

ka1a2aka1a2ak
k1a1a2ak
k
故gx在0
fk1
1

k1
1ka1a2ak
ka1a2ak
1k
1a1
a2
ak
a1a2ak
k
kaa2ak

由定理知k
1a1a2akr