高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
lim1极限的保号性很重要：设
fxA，
xx0
（i）若A0，则有0，使得当0xx0时，fx0；
（ii）若有0使得当0xx0时，fx0则A0。
2极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极
限是否存在在：
（i）数列x
收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的
充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）limfxAlimfxlimA
x
x
x
iiilimfxAlimlimA
xx0
x

x0
x

x0
iv单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理夹逼原理）
lim（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
fx存在的充分必要条件是：
xx0


0

0使得当x1、x2
U
o

x0
时，恒有

f
x1
f
x2

二．解决极限的方法如下：
1等价无穷小代换。只能在乘．除．时候使用。例题略。2洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的
当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i）“0”“”时候直接用0
ii“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成i中的形式了。即fxgx
fx或fxgx1
gx1
；
f
x

gx

1gx
1
f
1x
gx
fx
fxgx
eiii“00”“1”“0”对于幂指函数方法主要是取指数还取对数的方法，即fxgx
gxl
fx
，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。
1
f3泰勒公式含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）
ex1xx2x
exx
1；
2

1
si
xxx3x51mx2m11m1cosxx2m3
35
2m1
2m3
cos1x2x41mx2m1m1cosxx2m2
24
2m
2m2
l
（1x）xx2x31
1x
1

x
1
23


11x
1
1xu
1ux

uu12
x2
Cu
x

Cu
11xu
1x
1
以上公式对题目简化有很好帮助
4两多项式相除设a
bm均不为零，
P（x）a
x
a
1x
1a1xa0Qxbmxmbm1xm1b1xb0
limi
lim
x
PxQx

0ab

mm
m
（ii）若Qx0

0
，则
xx0
Pxr