lim1vy00,故fz在00处2x0xx1x
2uuxuy2uuxvx14u2ux0ux02uuyvy2uuyux
同理可得uy0vxvy0,故uv均为常数,进一步有fz在D内必为常数。
1ez17.计算积分Idz,其中为不过0和1的任一简单闭曲线。2i1zz3
解:①z0z1均在的外部,fz
ez在所围的闭区域上解析,故I01zz3
②z0在内部,z1在外部,由高阶导数公式
12I22i
ez1z1d2ez5z3dz2dz21z2,其中充分小。z0z
③z0在外部,z1在内部,则
I
12i
ezezz3dz3ez1zz1z1
5e2
④z0z1均在的内部,由多连通区域上的复合闭路定理得I18.(1)将函数fz
z1在圆环1z内展为Laure
t级数。zz1
2
解:1z
11z
fz
z1z111111323
22
32zz1z11zzz
0zz
0z
或fz
122122122zzz1zzz11z
f
122111
22
32zzz
0zz
0z
(2)求出函数fz
si
zz的奇点并判别它们的类型(包含无穷远点)。z3
fz
1z3
1315112z3z5zz35z
所以z0为fz的可去奇点(不含负幂项)z为fz的的本性奇点(含无穷多正幂,项)。
19.利用留数计算实积分
1x
xsi
x
2
dx
zeizzeizxeixidx2iReszi2i解:e221x1z2zzi
故
1x
xsi
x
2
dxRe
i
e
e
20.设C区域D内一条正向简单闭曲线,z0为C内一点,如果fz在D内解析,且
fz00fz00,在D内fz无其它零点,试证:
1zfzfzdzz02iC
证:因fz以z0为一级极点,故fzzz0z,z00z在z0解析,
zzz0zzfzzzzzfzzz0zzz0z
故
1zfz1z1zzdzdzdzz00z02ifz2izz02izCCC
fr