lim1vy00，故fz在00处2x0xx1x
2uuxuy2uuxvx14u2ux0ux02uuyvy2uuyux
同理可得uy0vxvy0，故uv均为常数，进一步有fz在D内必为常数。
1ez17．计算积分Idz，其中为不过0和1的任一简单闭曲线。2i1zz3
解：①z0z1均在的外部，fz
ez在所围的闭区域上解析，故I01zz3
②z0在内部，z1在外部，由高阶导数公式
12I22i
ez1z1d2ez5z3dz2dz21z2，其中充分小。z0z
③z0在外部，z1在内部，则
I
12i
ezezz3dz3ez1zz1z1
5e2
④z0z1均在的内部，由多连通区域上的复合闭路定理得I18．（1）将函数fz
z1在圆环1z内展为Laure
t级数。zz1
2
解：1z
11z
fz
z1z111111323
22
32zz1z11zzz
0zz
0z
或fz
122122122zzz1zzz11z
f
122111
22
32zzz
0zz
0z
（2）求出函数fz
si
zz的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）。z3
fz
1z3
1315112z3z5zz35z
所以z0为fz的可去奇点（不含负幂项）z为fz的的本性奇点（含无穷多正幂，项）。

19．利用留数计算实积分


1x
xsi
x
2
dx
zeizzeizxeixidx2iReszi2i解：e221x1z2zzi

故

1x
xsi
x
2
dxRe
i
e


e

20．设C区域D内一条正向简单闭曲线，z0为C内一点，如果fz在D内解析，且
fz00fz00，在D内fz无其它零点，试证：
1zfzfzdzz02iC
证：因fz以z0为一级极点，故fzzz0z，z00z在z0解析，
zzz0zzfzzzzzfzzz0zzz0z
故
1zfz1z1zzdzdzdzz00z02ifz2izz02izCCC
fr