根。
又由（4）知，

x1x2
11
00
，所以原方程有一个解
x1
。
ii当k4时，原方程有一个解xk112
iii
当
k

4时，由（3）得
xx11x2
x2k10
2

0
，所以
x1
x2同为正根，且
x1

x2
，不合题意。
综上可得k0或k4为所求。
20097、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，
最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数
是
（可以用指数表示）
◆答案：101298
★解析：易知：i该数表共有100行；ii每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d11d22d322d99298
iiia100为所求。设第
2行的第一个数为a
，则a
a
1a
12
22a
12
222a
22
32
2222a
32
422
22
223a
332
2
2
1a1
12
2
12
2故a100101298
20098、某车站每天800900，9001000都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，
且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
810
830
850
910
930
950
概率
1
1
6
2
一旅客820到车站，则他候车时间的数学期望为
◆答案：27
1
3
（精确到分）
2009年全国高中数学联合竞赛试题第3页共11页
f★解析：解：旅客候车的分布列为
候车时间（分）10
30
50
70
90
概率
1
2
候车时间的数学期望为
1
11
11
11
3
66
2636
10130150170190127
2
3
36
12
18
二、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20099、（本题满分14分）
设直线lykxm（其中km为整数）与椭圆x2y21交于不同两点AB，与双曲线1612
x2y21交于不同两点CD，问是否存在直线l，使得ACBD0，若存在，指出这样的直412
线有多少条？若不存在，请说明理由。
ykxm
★解析：由题意得
x216

y212
1
消去y化简整理得34k2x28kmx4m2480
设
Ax1
y1
Bx2
y2
，则
x1

x2


8km34k2

18km2434k24m2480（1）
ykxm
由

x2
y2
消去y化简整理得3k2x22kmxm2120

4
12
1
设Cx3
y3
Dx4
y4
，则
x3

x4

2km3k2

22km243k2m2120（2）
因为ACBD0，所以x4x2r