2009年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
20091、函数fx
x1x2
，且
f

xffffx，则
个f
f
991
◆答案：110
★解析：由题意得f1xfxx，f2xffx1x2
f99x
x
故f9911
199x2
10
x，12x2
20092、已知直线Lxy90和圆M2x22y28x8y10，点A在直线L上，点
BC为圆M上两点，在ABC中，BAC450，直线AB过圆心M，则点A横坐标的取值范
围为
◆答案：36
★解析：设A（a，9a），则圆心M到直线AC的距离dAMsi
45，由直线AC与圆M相交，
得d34解得3a62
y0
20093、在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，M
为

yx
，N是
y2x
随t变化的区域，它由不等式txt1所确定，t的取值范围是
0t1，则M和N的公共面积是函数ft
◆答案：t2t12
★解析：由题意知fts阴影部分面积

SAOB

SOCD

SBEF


t
2

t

12
2009年全国高中数学联合竞赛试题第1页共11页
f20094、若不等式11120071对一切正整数
都成立，则最小正整数a的

1
2
2
1
3
值为
◆答案：2009
★解析：设f
111显然f
单调递减则由f
的最大值
1
22
1
f1a20071，可得a20093
20095、椭圆x2a2

y2b2
1（ab0）上任意两点PQ，若OPOQ，则OPOQ的最小值
为
◆答案：
2a2b2a2b2

★解析：设POPcosOPsi
，QOQcosOQsi

2
2
由P、Q在椭圆上，有
1OP2

cos2a2

si
2b2
（1），
1OQ2

si
2a2

cos2b2
（2）
（1）（2）得
1OP2

1OQ2

1a2
1b2

于是当
OPOQ
2a2b2a2b2
时，
OP
OQ
达到最小值
2a2b2a2b2

20096、若关于x的方程lgkx2lgx1仅有一个实根，则实数k的取值范围为
◆答案：k0或k4
kx0
★解析：由题意，方程等价于
x1kx
0x
12
，当且仅当
kx0（1）；x10（2）；x22kx10
对（3）由求根公式得
x1
x2

1k2

2

k24k
又k24k0k0或k4
（3）
（4）
2009年全国高中数学联合竞赛试题第2页共11页
fi
当
k

0
时，由（3）得
xx11x2
x2k10
2

0
，所以
x1x2
同为负r