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对称性在曲线积分计算中的应用
作者：左俊梅何奇龙来源：《吉林省教育学院学报上旬刊》2014年第07期
摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性可以简化计算。本文总结了对称性在曲线积分计算中的应用。
关键词：对称性；曲线积分；积分计算中图分类号：O1722文献标识码：A文章编号：16711580（2014）070151021对称性在第一型曲线积分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论。定理11设平面分段光滑曲线L关于y轴（或x轴）对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则（1）若f（x，y）为关于x（或y）的奇函数，则∫Lf（x，y）ds0；（2）若f（x，y）为关于x（或y）的偶函数，则∫Lf（x，y）ds2∫L1f（x，y）ds其中L1（x，y）∈Lx≥0（或y≥0）由定理1可得如下推论：推论1设平面分段光滑曲线L关于x轴对称且关于y轴对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则（1）若f（x，y）关于x，y均为偶函数，则∫Lf（x，y）ds4∫L1f（x，y）ds，其中L1（x，y）∈Lx≥0，y≥0（2）若f（x，y）关于x或y为奇函数，即f（x，y）f（x，y）或f（x，y）f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds0例1设L是圆周x2y2R2，求I∫L（x2y3）ds解I∫Lx2ds∫Ly3ds由于L关于x轴对称，且y3是关于变量y的奇函数，则由定理311知
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∫Ly3ds0，由于L既关于x轴对称，又关于y轴对称，且x2是关于变量x及y的偶函数，则由推论3知∫Lx2ds4∫L1x2ds，其中L1为L在第一象限的部分。又由于∫L1x2ds∫R0x21（xR2x2）2dx∫R0Rx2R2x2dx14πR3故∫Lx2ds4∫L1x2dsπR3当曲线L关于原点对称时，我们可以得到如下的定理：定理2设平面分段光滑曲线L关于原点对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则（1）若f（x，y）f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds0；（2）若f（x，y）f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds2∫L1f（x，y）ds其中L1为L的上半平面或右半平面。例2L为椭圆x24y231，其周长为a，计算积分∫L（3x24y25xy2）ds解∫L（3x24y25xy2）ds∫L（3x24y2）ds∫L5xy2ds12a∫L5xy2ds，由于L关于原点对称，且5（x）（y）25xy2，则由定理2知∫L5xy2ds0，其中L1为L的右半部分。综上可得∫L（3x24y25xy）ds12a012a关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论：定理3设平面分段光滑曲线L关于x，y具有轮换对称性，且f（x，y）在L上有定义、可积，则∫Lf（x，y）ds∫Lf（y，x）ds例3计r