算第一型曲线积分∫Lz2ds，其中L为球面x2y2z2a2被平面xyz0所截得的圆周。
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解由于L关于x，y，z具有轮换对称性，则由定理3知∫Lz2ds∫Ly2ds∫Lx2ds，则∫Lz2ds13∫Lx2ds∫Ly2ds∫Lz2ds13∫L（x2y2z2）dsa23∫Lds23πa32对称性在第二型曲线积分计算中的应用根据第二型曲线积分的定义及物理背景，我们分析得到对称性在第二型曲线积分中的结论与对称性在以上讨论的几类积分中的结论是不同的，这是因为第二型曲线积分的物理背景是变力做功，它与曲线的方向有关，经过分析我们得到下面的定理。定理4设L为平面上分段光滑的定向曲线，P（x，y），Q（x，y）为定义在L上的连续函数；（1）当L关于x轴对称时：①若P（x，y）是关于y的偶函数，则∫LP（x，y）dx0；若P（x，y）是关于y的奇函数，则∫LP（x，y）dx2∫L1P（x，y）dx，②若Q（x，y）是关于y的奇函数，则∫LQ（x，y）dy0；若Q（x，y）是关于y的偶函数，则∫LQ（x，y）dy2∫L1Q（x，y）dy；其中L1是L位于x轴上方的部分。（2）当L关于y轴对称时：①若P（x，y）是关于x的奇函数，则∫LP（x，y）dx0；若P（x，y）是关于x的偶函数，则∫LP（x，y）dx2∫L1P（x，y）dx；②若Q（x，y）是关于x的偶函数，则∫LQ（x，y）dy0；若Q（x，y）是关于x的奇函数，则∫LQ（x，y）dy2∫L1Q（x，y）dy；其中L1是L位于y轴右方的部分。（3）当L关于原点对称时：①若P（x，y），Q（x，y）关于（x，y）为偶函数，即P（x，y）P（x，y）
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且Q（x，y）Q（x，y），（x，y）∈L，则∫LP（x，y）dxQ（x，y）dy0；②若P（x，y），Q（x，y）关于（x，y）为奇函数，即P（x，y）P（x，y）且Q（x，y）Q（x，y），则∫LP（x，y）dxQ（x，y）dy2∫L1P（x，y）dxQ（x，y）dy其中L1为L的右半平面或上半平面部分。例4计算第二型曲线积分∫Ly2dxx2dy，其中L是椭圆x2a2y2b21，沿顺时针方向。解由于L关于原点对称，且P（x，y）y2及Q（x，y）x2均为（x，y）的偶函数，则由定理4（3）知∫Ly2dxx2dy0对于轮换对称性，我们有如下定理：定理5设L为平面上分段光滑的定向曲线，P（x，y），Q（x，y）为定义在L上的连续函数。若曲线L关于x，y具有轮换对称性，则∫LP（x，y）dx∫LP（y，x）dy例5计算第二型曲线积分∫Ldxdyx2y21，其中L：xy1，取逆时针方向。解∫Ldxdyx2y21∫Ldxx2y21∫Ldyx2y21由于曲线L关于x轴对称，且1x2y2是关于y的偶函数，则由定理4（1）知∫Ldxx2y210，又由于积分曲线L关于x，yr