1
13355779
11111111111123235257279

12
1

13

13

15


15

17



17

91
11129
49
五分段求和法：
例10在等差数列a
中a1023a2522，求：（1）数列a
前多少项和最大；（2）数列a
前
项和
六分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列的每一项分成多个
项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
例11
求数列的前
项和：11141aa2

7


1a
1
3
2，…
4
f解：设S


111a
14
a2
17
a
1
3
2
将其每一项拆开再重新组合得
11
1
S


1
a

a2

1473
2a
1
当a1a＝1
时，S



3
1
2
＝
3
1
2
当a1时，S


1

1a

11

3
1
2
＝aa1
a1

3
1
2
a
例12求数列
12
1的前
项和
（分组）（分组求和）
解：设akkk12k12k33k2k



∴S
kk12k1＝2k33k2k
k1
k1
将其每一项拆开再重新组合得





S
2k33k2k
（分组）
k1
k1
k1
＝21323
331222
212

＝
2
12
12
1
1
2
2
2
＝
12
22
（分组求和）
变式求数列112131248





12



的前
项和
解：
S


1
12

2
14

3
18





12


123




12

122

123


12


1
111
2
2

七并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特
殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和形如a
1
f

类型，可采用两项合并求利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论
例13求cos1°cos2°cos3°…cos178°cos179°的值
解：设S
＝cos1°cos2°cos3°…cos178°cos179°
∵cos
cos180

（找特殊性质项）
∴S
＝（cos1°cos179°）（cos2°cos178°）（cos3°cos177°）
（cos89°cos91°）cos90°
（合并求和）
＝0
5
f例14数列a
：a11a23a32a
2a
1a
，求S2002
解：设S2002＝a1a2a3a2002由a11a23a32a
2a
1a
可得
a41a53a62
a71a83a92a101a113a122……
a6k11a6k23a6k32a6k41a6k53a6k62
∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60
（找特殊性质项）
∴S2002＝a1a2a3a2002
（合并求和）
＝a1a2a3a6a7a8a12a6k1a6k2a6k6
a1993a1994a1998a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5
例15在各项均为正数的等比数列中，若a5a69求log3a1r