列
22

422

623

2
2

前


项的和
解：由题可知，

2
2


的通项是等差数列
2

的通项与等比数列
12

的通项之积
设S


22

422

623

2
2

…………………………①
12S


222

423

624

2
2
1
………………………②
（设制错位）
①－②得，1
12
S



22

222

223

224

22


2
2
1
（错位相减）
212
2
12
1
∴
S


4

22
1
四裂项相消法即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
2
f与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
适用于

a

ca
1

，其中
a


是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
a
f
1f
常见裂项公式：
（1）111，1111；1111（

1
1
kk
k
a
a
1da
a
1
a

的公差为d）；
（2）
1a

1a
1d
a
1
a
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；
（3）
1
11
1
；

1
12
1
1
2
（4）
a


2

112

1

12
12
1
12
1
；a


2

2
212

1
1
12
12
1

12
1
；
（5）a


21

12


2
1
1

12


1
2
1
1
12

则S

11
12

；
（6）
cos
si
1
cos


1

ta
1
ta
；
（7）
11；
1
1
（8）常见放缩公式：2
1
2122
1
1

1
例6求数列11
1
的前
项和
1223
1
解：设a

1


1

1


则
S

11
2

12
3
1
1
＝2132
1

＝
11
例7
求和S

111133557

1

2
12
1
（裂项）（裂项求和）
例8
在数列a
中，
a


1
1

2
1


1
，又b


2a
a
1
，求数列b
的前
项的和
解：
∵
a


1
1
2
1

1


2
3
f∴
b


2
1
81


1
1
22
（裂项）
∴数列b
的前
项和
S

81
1122

1133

11
4



1
1
（裂项求和）
＝811
1
＝8
1
例9
求证：
cos
0
1cos1

1cos1cos
2





1cos88cos89


cos1si
21
解：设S

1cos0cos1

1cos1cos2

1cos88cos89
∵
cos


si
1cos


1
ta
1
ta

（裂项）
∴S

1cos0cos1

1cos1cos2

1cos88cos89
（裂项求和）
＝
1si
1
ta
1

ta
0

ta
2

ta
1

ta
3

ta
2
ta
89

ta
88
＝
1si
1
ta
89

ta
0
＝
1si
1
cot1
＝
cos1si
21
∴原等式成立
变式
求S

11113153563
1111
解：3

153511
631
r