求数列前
项和的8种常用方法
一公式法（定义法）：
1等差数列求和公式：
S


a12
a


a1


12
d
特别地，当前
项的个数为奇数时，S2k12k1ak1，即前
项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；
2等比数列求和公式：
（1）q1，S
a1；
（2）
q

1，
S


a1
1q
1q
，特别要注意对公比的讨论；
3可转化为等差、等比数列的数列；
4常用公式

（1）k123

1
1；
k1
2

（2）k2122232

21
12
11
1
1；
k1
6
3
2

（3）k3132333

3
12；
k1
2

（4）2k11352
1
2
k1
例1
已知log3x
1，求xx2x3log23
x
的前
项和
解：由log3
x

1log23

log3
x

log3
2

x

12
由等比数列求和公式得S
xx2x3x

＝
x1
x


＝
12
1
12


1x
11
2
＝1－12

例2设S
123

，
N求f

S

的最大值

32S
1
解：易知
S


12


1，
S
1

12


1


2
∴
f





S
32S
1
＝

2


34


64
＝1＝
1
1

3464
825050



∴当


88
，即



8时，
f

max

150

二倒序相加法如果一个数列a
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那
么求这个数列的前
项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前
项和即是用此法推导的，就是
1
f将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到
个a1a
例3求si
21si
22si
23si
288si
289的值解：设Ssi
21si
22si
23si
288si
289…………①
将①式右边反序得Ssi
289si
288si
23si
22si
21…………②（反序）
又因为si
xcos90xsi
2xcos2x1
①②得
（反序相加）
2Ssi
21cos21si
22cos22si
289cos289＝89
∴S＝445
例4函数fxx，求f1f2
1x

f
2012
f

12012


f

12011


f

12


f
1的值
三错位相减法：适用于差比数列（如果a
等差，b
等比，那么a
b
叫做差比数列）即把
每一项都乘以b
的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和
如：等比数列的前
项和就是用此法推导的例5求和：S
13x5x27x32
1x
1…………①
解：由题可知，2
1x
1的通项是等差数列2
1的通项与等比数列x
1的通项之积
设xS
1x3x25x37x42
1x
………………②（设制错位）
①－②得1xS
12x2x22x32x42x
12
1x
（错位相减）
即：1
xS

12x1x
11x
2
1x

∴
S


2

1x
1
2
1x
1x2
1
x
变式
求数r