xy轴与直线yl
ayl
b所围成的图形如图68阴影所示其面积
S
l
bxdy
l
a
l
beydyey
l
a
l
bl
a

ba
2求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：
1yexx0y0x1绕y轴；
2yx3x2x轴，分别绕x轴与y轴；
3yx2xy2，绕y轴；
4y22pxy0xap＞0a＞0绕x轴；
5x22y2≤1绕y轴
解1如图69所求旋转体的体积为矩形OABD与曲边梯形CBD绕y轴旋转所成的几何体
体积之差可求得yex与x1的交点为1eyex与y轴的交点为01所以所求旋转体的体
积
Vy
π12eπel
1
y2dyπeπyl

y2
e1
2
e
l
1
ydy
πe
πe
2πy
l

y
e1

e1
dy


2πe

e

1

2π
2Vx
π20
y2dx
π20
x6dx
π
x77
20

128π7
Vy
π
22

8
π
8
x2dy

32ππ
8
y
2
3dy

32ππ
3

y
53
0
0
5
80

64π

5
13
f图69
图610
3解方程组

yx

x2y2
得交点0011所求旋转体的体积
Vx
π1xdx0
π1x4dx0
π

x22

x55

10

3π10
图611
4Vx
πay2dxπa2pxdxπpx2
0
0
a0

pa3π
图612
5所求旋转体的体积是由右半圆x21y2与左半圆x21y2绕x轴旋转
生成的旋转体的体积之差即
Vy
11
2
1y2
2
2
1y2
2

dy
8π11y2dy16π11y2dy4π2
1
0
图613
3已知曲线yaxa＞0与yl
x在点x0y0处有公共切线，求：
1常数a及切点x0y02两曲线与x轴围成的平面图形的面积S
解1由题意有点x0y0在已知曲线上且在点x0y0处两函数的导数相等即有
14
f
y0

a
x0

y0

l

x0
a

2
x
xx0

11x2xxx0

y0

a
x0
即

y0

l

x0


2
ax0

12x0
解得

x0y0

e21

a

1e
2由1知两曲线的交点为e21又在区间01上曲线yax在曲线yl
x的上
方它们与x轴所围成的平面图形的面积
S
1
0e2y
ey2dy


12
e2y

1e2y33

10

1e26

12

由ya
x
xe
得
x

ey2
由
y

l

x得xe2y
4※
设
f

x

lim

1
xx2
e
x
试求曲线yfx直线y12
x及x1所围图形的面积
解
fxlimx
1x2e
x


0x
1x2
x0x0
解
方
程

yy

12
xx
得交点为

1

12

且易知当
1x2
图614
x10时
y

12
x
位于
y

x1x2
的上方所围图形如阴影部分所示其面积
S
01
12
x

x1x2

dx

12
1
12

14
x2

12
l
1
0
x21

14

12
l

2

5一抛物线yax2bxc通过点0，0、1，2两点，且a＜0，试确定abc的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小
解由抛物线过0012点有c0ab2又由抛物线方程yax2bx得与x轴的两交点
为00
r