1
xdx

1
01x2
12
l

1
xdx2

1
x2
l

1
x
01x
21x
1
2
0
120
x2
x2
dx1
1l
38
1
21
0
x211dx

1l
38
x
1
20

12
1
2
1

1
dx
0x1x1
1
1l
311l
x1213l
3
8
22x1028
2已知f2
1
f′20
2
fxdx1求
2x2fxdx
2
0
0
解
2x2fxdx0
2x2df
0
x

x2
f
x
20
2
2
xf
0
xdx

4f22
2
xdf
0
x

2xf
x
20
2
20
f
xdx
4f22141202
3※利用分部积分公式证明：
10
fx
xu
0fuxudu00fxdxdu
证令Fuufxdx则FuFu0
则
x
ufxdxdu
00
x0
f
udu
uFu
x0

xuFudu
0
即等式成立
xFxxufuduxxfxdxxufudu
0
0
0
xxfuduxufuduxxfuduxufudu
0
0
0
0
xxufudu0
习题65
1求由下列曲线所围成的平面图形的面积：
1yex与直线x0及ye
2yx3与y2x
3yx24yx3
4yx2与直线yx及y2x
5y1x轴与直线yx及x2x
6yx1x2与x轴；
7yexyex与直线x1
8yl
xy轴与直线yl
ayl
b0ab
解1可求得yex与ye的交点坐标1eyex与x0的交点为01它们所围成的图形如图61中阴影部分其面积
e
e
S
xdy
1
1
l

ydy

yl

y

y
e1

1
图61
2解方程组

yy

x32x
得

xy

00


xy

2
22


xy

2
2
2

图62
即三次抛物线yx3和直线y2x的交点坐标分别为00222222它们
所围成的图形的面积
S0x32xdx
2
2x
x3dx

1
x4

x2
0
x21x422
2
0
4
2
40
11
f3解方程
y4
x2yx3
得两曲线的交点为00416所求面积为
S
4x2
0

14
x3dx

13
x3
116
x404

163

图63
图64
4可求得yx2与yx的交点为0011yx2与y2x的交点为0024
yx与y2x的交点为00它们所围图形如图64中阴影所示其面积为
S
1
2xxdx
22xx2dx
1
xdx
12xx2dx
0
1
0
0

1x22
10

x2
1x33
21

76
5y1与yx的交点为11y1x轴与直线x1及x2所围成的图形如图65
x
x
阴影所示其面积
S
1
xdx
0
21dxx2
1x
2
10
l

x
21

12

l

2

图65
图66
6yx1x2x321顶点坐标为31与x轴所围成的图形如图
24
24
66中阴影所示由yx321得x31y
24
24
所求面积
12
fS
01
4

32

14

y



32

3

2

23

14

y

2
01
4
16
1
4

y
dy

2
01
4
1ydy4
7可求得曲线yex与yex的交点01曲线yexyex与x1所围成的图形如
图67阴影所示其面积
S
1ex
0
exdx

ex
ex
10

e
1e

2
图67
图68
8曲线ylr