A的原点为111再沿Y轴正向即沿X0轴反向移动2个单位后变为1221最后再沿Z轴正向即沿Z0轴反向移动2个单位后就变为1212即121可见上面计算的结果与此相符
232旋转的齐次变换
首先我们介绍点在空间直角坐标系中的旋转如图211所示空间某一点A坐标为xyz当它绕Z轴旋转θ角后至A′点坐标为x′y′z′A′点和A点的坐标关系为x′cosθxsi
θy212y′si
θxcosθyz′zZ或用矩阵表示为x′cosθy′si
θz′0
0xθcosθ0yA′x′y′z′01zAxyzA′点和A点的齐次坐标分别为x′y′z′1T和xyzyy′O1T因此A点的旋转齐次变换过程为Yθx′cosθsi
θ00xx′y′si
θcosθ00yx213z′0010zX图211点的旋转变换001110也可简写为a′Rotzθa214式中Rotzθ表示齐次坐标变换时绕Z轴的旋转算子算子的内容为cθsθ00sθcθ00Rotzθ21500100010式中cθcosθsθsi
θ同理可写出绕X轴的旋转算子和绕Y轴的旋转算子其内容为
si
θ
z
z′
作者黄海东
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f工业机器人基础讲义
第2章
工业机器人运动学
00100cθsθ0Rotxθ2160sθcθ00100cθ0sθ00100Rotyθ217sθ0cθ00010图212所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况kxkykz分别为单且kx2ky2kz21位矢量k在固定坐标系坐标轴XYZ上的三个分量方向余弦可以证得绕任意过原点的单位矢量k转θ角的旋转齐次变换公式为kykxversθkzsθkzkxversθkysθ0kxkxversθcθkkversθksθkkversθcθkkversθksθ0zyyzyxRotkθxy218kxkzversθkysθkykzversθkxsθkzkzversθcθ00001式中versθ1cosθ式218称为一般旋转齐次变换的通式绕X轴Y轴Z轴进行的旋转齐次变换是其特殊情况例如当kx1kykz0时即绕X轴旋转则由式218可得到式216当ky1kxkz0时即绕Y轴旋转则由式218可得到式217当kz1kxky0时即绕Z轴旋转则由式218可得到式215反之若给出某个旋转齐次变换矩阵
xoxax0ZkA
oa0yyRyθ
zozaz00001A′则可根据式218求出其等效转轴的单位矢量k及等效转角θ计算公式为OY1222si
θ±2ozayax
z
yoxX图212一般旋转变换ozay2ax
z2
yox2ta
θ±
xoyaz1ozay219kx2si
θax
zky2si
θ
yoxkz2si
θ式中当θ取0°到180°之间的值时r