根的判别式与韦达定理
模块一根的判别式
1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到
x

b22a

b24ac4a2
，显然只有
当b24ac0时，才能直接开平方得：xb
2a
b24ac．
4a2
注：一元二次方程ax2bxc0a0只有当系数a、b、c满足条件b24ac0
时才有实数根．这里b24ac叫做一元二次方程根的判别式．2、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程ax2bxc0a0的根由其系数a、b、c确定，
它的根的情况（是否有实数根）由b24ac确定．设一元二次方程为ax2bxc0a0，其根的判别式为：b24ac则
①0方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根x12b
b24ac．
2a
②


0

方程
ax2

bx

c

0a

0
有两个相等的实数根
x1

x2


b2a
．
③0方程ax2bxc0a0没有实数根．
练习：运用判别式，判定方程实数根的个数
【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x23x40；
（2）ax2bx0（a0）
【巩固】不解方程，判别一元二次方程2x26x1的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
1
f【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：
（1）2x23x40；
（2）3x2226x；（3）3x212x；
2
2
（4）2m21x22mx20；（5）x22axa10；（6）3x22x20；
（7）4xx130；
（8）x1x2m2
【例2】已知a，b，c是不全为0的3个实数，那么关于x的一元二次方程
x2abcxa2b2c20的根的情况（）．
A．有2个负根
B．有2个正根
C．有2个异号的实根
D．无实根
利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围
【例3】m取什么值时，关于x的方程x223mx26有两个相等的实数根
【巩固】如果关于x的一元二次方程kx26x90有两个不相等的实数根，那么k
的取值范围是（）
A．k1
B．k0
C．k1且k0
D．k1
【巩固】方程kx26x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
【巩固】若关于x的二次方程m1x22mxm20有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【巩固】若关于x的一元二次方程k1x22x10有实数根，则k的最小整数值为
【巩固】已知方程m2x22m1x10有实数根，求m的范围．
【例4】关于x的一元二次方程12kx22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
2
f【巩固】关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）【巩固】已知关于x的方程x22m1xm250有两个不相等的实数根，化简：
1mm24m4
【r