14
3x14x2x39
方程组有唯一解（21，1）T，组合系数为（2，1，1）
对矩阵A施行初等行变换
12102
A

00
03
062282


09632
30解
12102
12102

00
30
20
86
32

00
30
20
83
31
B。




000217
00000
（1秩（B3，所以秩（A）秩（B）3。
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向
量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关
组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
A的属于特征值λ1的2个线性无关的特征向量为
ξ1（2，1，0）T，ξ2（201T。

2
55
2515
经正交标准化得η155，η24515。

0


53

λ8的一个特征向量为
1
13
ξ3

2

，经单位化得η3

2

3


2
23
所求正交矩阵为
T

2
5555

0
215154515
53
12

33

。
23
100
对角矩阵
D

0
1
0
008
1213
f线性代数测试试卷及答案

2
55
（也可取T0

55
21515534515
1
3

23
23
31解fx1，x2，x3）x12x22x3）22x224x2x37x32x12x22x3）22（x2x3）25x32。
y1x12x22x3
设y2
x2x3
即
xx12

y1
2y2y2y3

y3
x3
x3
y3
120
因其系数矩阵
C

0
1
1
可逆，故此线性变换满秩。
001
经此变换即得f（x1，x2，x3的标准形y122y225y32
四、证明题（本大题共2小题每小题5分，共10分）32证由于（EA）（EAA2EA3E，
所以EA可逆，且（EA1EAA2。33证由假设Aη0b，Aξ10，Aξ20。（1Aη1Aη0ξ1）Aη0Aξ1b，同理Aη2b，
所以η1η2是Axb的2个解（2）考虑l0η0l1η1l2η20，
即（l0l1l2）η0l1ξ1l2ξ20则l0l1l20，否则η0将是Ax0的解，矛盾。所以l1ξ1l2ξ20。又由假设，ξ1，ξ2线性无关所以l10，l20，从而所以η0，η1，η2线性无关。
l00
1313
fr