与b在a上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①abab0；
2a；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必




②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，aaaaa

2



2

要非充分条件；
ab③非零向量a，b夹角的计算公式：cos；④abab。如（1）已知ab


a2，b32，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：
43


或0且
13
）2）；已知OFQ的面积为S，OFFQ1，（且若
43


12
S
32
，
则OFFQ夹角的取值范围是_________（答：
）；（3）已知
acoxssxib
ycoysb之间有关系式kab3akb其中k0，①用a与si
k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小（答：k211k0；②最小值为，60）①ab4k2
6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的
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f向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；










②向量的减法：用“三角形法则”：设ABaACb那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD___；ABADDC____；ABCDACBD_____②③（答：AD；CB；0）①②③；（2）若正方形ABCD的边长为1，ABaBCbACc，则abc＝_____（答：22）（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足；










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