0，ab
c1a2由题意得：a2，解得：，4c1c
∴b3，∴椭圆的标准方程：
2
2分
x2y21；43
22
4分
x21x22mxm23（2）设Nxy，则MNxmyxm3144
22
对称轴：x4m，2x2①当04m2，即0m解得：m
2
6分
122，x4m时，MNmi
3m31，2
8分
21，不符合题意，舍；34
高二期末调研测试数学试卷第7页（共11页）
f1m2，x2时，MN2mi
m24m41，21m2m1；解得：m1或m3；2
②当4m2，即综上：m1，N20；10分
（3）由题意得：四条垂线的方程为x2，y3，则A23，B23∴kOAkOB
34
y1，Qx2，y2，则设Px1，
y1y23①，PQx1x24
2
x1x22y1y22
∵点P、Q在椭圆C上∴y131
x12x2，y2231244
平方①得：9x12x2216y12y2294x124x22，即x12x22412分
OA、OB与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：①若x1x2，则P、P1、Q、Q2分别是直线
2
6666，2，2，2∴四边形PQPQ11的面积为43；2222y2y1xx1，化简得：x2x1
②若x1x2，则直线PQ的方程可设为：yy1
y2y1xx2x1yx2y1x1y20，
所以O到直线PQ的距离为d
x1y2x2y1x2x12y2y12
，
14分
所以△OPQ的面积S
111PQdx1y2x2y1x12y222x1x2y1y2x22y12222
x22x12132211223x11x1x23x213x12x22343242422
根据椭圆的对称性，故四边形PQPQ11的面积为4S，即为定值43综上：四边形PQPQ11的面积为定值4320．解：（1）fx16分2分
1ax
高二期末调研测试数学试卷第8页（共11页）
f∵函数在x2处的切线l与直线x2y30平行解得：a1；
∴k
11a，22
4分
2
（2）由（1）得fxl
xx，∴fxm2xx2，即x3xl
xm0设hxx23xl
xmx0，则hx2x3
12x23x12x1x1xxx
1x21，列表得：21112
－0极小值
令hx0，得x1
x
hr