不是特解。9简述圣维南原理及其在弹性力学中的简化作用。
答：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢和
主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略
不计。
作用：1将次要边界上复杂的面力做分布的面力替代；2将次要的位移边界条
件转化为应力边界条件处理。10如何正确写出弹性力学平面问题的应力边界条件？请写出具体步骤。
答：1找出边界的外法线方向
lm，求出l和m；
2写出边界上的应力的x分量X以及y分量Y的表达式；
3按如下公式写出边界条件
x
s

l


xy
mX
s

xy
l
s
y
mY
s
f下标s表示在边界上取值。11什么是半逆解法？请写出半逆解法求解弹性力学平面问题的步骤。12阐述你对有限元方法的认识。
五、计算题
1试考虑下列平面问题的应变分量是否有可能存在1xAxy，yBy3，xyCDy2；2xAy2，yBx2y，xyCxy；3x0，y0，xyCxy解：应变分量存在的必要条件是应变分量满足变形协调条件，即
2x2y2xyy2x2xy
因此，1相容；2须满足B02AC；3不相容。只有C0，则xyxy0。2在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否可能在单连通弹性体中存在
1xAxBy，yCxDy，xyExFy；
2xAx2y2，yBx2y2，xyCxy
解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，
即

xx

xyy

fx

0

xy
x

yy

fy

0
和2xy0
因此，1该组应力满足相容方程，为了满足平衡微分方程，必须满足AF和
DE；2为了满足相容方程，其系数必须满足AB0，为了满足平衡微分方程，其系数必须满足ABC。这只能是ABC0，即弹性体内无应力，无
2意义。
f3已知平面应力问题的应力xaxby，其他应力分量为零，求位移场。
解：由平面应力问题的物理方程
x

1E
xy
y

1E
yx
21
xyExy
可以得到
1
x

E
xy
1axby
E
1
y

E
yx
axby
E
1
21
xy
E
xy0
1式代入几何方程
u
v
vu
xxyyxyxy
得到
u

x

1E
ax
by
v

y


E
ax

by
2
v

x

uy

0
2式的前两式分别对x、y积分，得
u

1E

12
ax2

bxy


f1y

3
v


E

axy

1by22


f2
x
将3式代入2式的第三个方程中，可得
bE
x

f1

y
aE
y

f2x

0
f2
x

bE
x


f1

y

aE
y
4
此方程的左边的自变量为x，右边的自变量为y，等式要恒成立则要求两边等于同
一个常数c，故可以令：
f
f2
x

bE
x

c

f1

y

aE
y

c
r