5
将这两个方程分别对x和y积分就得到

f2

x


b2E
x2

cx

c2


f1y

a2E
y2
cy
c1
6
6式代入3式得到
u

1E

12
ax2

bxy


a2E
y2
cy

c1

7
v


E

axy

12
by2


b2E
x2

cx

c2
4如图所示三角形柱体，下部受均匀载荷，斜面自由，不计体力，试检验应力分量

yxy

x

aarcta

x

x2

y2
b
y

aarcta

yx

xyx2y2
c

xy

a
y2x2y2
是否满足应力表示的全部方程，并求常数a，b，c使其满足给定的边界条件。
B
β
A
O
q
解：1验证（略）应力分量满足如下平衡方程

xx
xyy
0


xy
x
yy
0
f和相容方程
22

x
2
y2

x
y
0
2对y0有边界条件
yy0q
1
xyy00
将

yxy
y

aarcta

x

x2

y2
c
和
xy

a
x2
y2y2
代入1式得到
acq
2
对OB边有如下边界条件
xsl
xy
m0
s


y
m
s
xy
l0
s
3
将
l

cos

2





si



mcoscos
代入3式得到

x
s

si




xy
cos0
s

y
cos
s
xy
si
0
s
4
OB边的方程为
yta
x
5
将5式代入应力分量
fx

a


arcta


yx

xyx2y2

b



yxy
y

aarcta

x

x2

y2
c
xy
a
y2x2y2
并利用2式得到


xy

ss

asi
cosbasi
cosc
xysasi
2
6
将6式代入4式有
asi
cosbsi
asi
2cos0asi
cosccosasi
2si
0
解得

b

c

si
3cos

si

cos



ta




7
7式代入2式得到
aq
8
ta

5如图所示，设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力忽略不计，
lh。试用应力函数AxyBy2Cy3Dxy3求解应力分量。
FSMFNO
h2h2
hδ1
解：I显然，应力函数
AxyBy2Cy3Dxy3
1
f满足双调和方程。
II写出应力的表达式（不计体力）
2xy22B6Cy6Dxy
2yx20
xy


2xy

A3Dy2
III通过边界条件确定待定系数
边界条件为：
边界yh上：2
边界yh上：2
yyh02xyyh02
yyh02
xyyh02
由2456式有

A

3D


h2
2

0
A3h2D04
由2478式也可得到9式。
在边界x0上，用圣维南原理提出如下边界条件
h
2h
xx0
dy1FN
2
h
2h
xyx0
dy1Fs
2
h
2h
xx0
dy1yM
2
将2代入10得到
234
5678
9
101112
fh
2h
2B

6Cy


dy

FN
2
BFN2h
2BhFN
13
将4代入11得到
h
2h
A3Dy2
dyFs
2
A1Dh2Fs
4
h
14
联立914得到
A3Fs
15
2h
D2Fsh3
16
将2代入12得到
h
2h

2B

6Cy

y

dy

M
2
C


2Mh3
17
由13151617及234得到
x
FNh

12Mh3
y

12Fsh3
xy
y0
1819
xy
3Fr