第三章3．2
三角恒等变换
简单的三角恒等变换
1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．
基础梳理一、利用二倍角公式推导半角公式α21因为α是的二倍角，所以在二倍角公式cos2α＝1－2si
α中，以α代替2α，2α1－cosα2α2α以代替α，即cosα＝1－2si
，所以si
＝．2222α22在二倍角公式cos2α＝2cosα－1中，以α代替2α，以代替α，即cosα＝22cos
2
α1＋cosα2α－1，所以cos＝．222
2
3由12中所得两式相除得ta
α综上，si
＝±_2
α1－cosα＝21＋cosα1＋cosαα，ta
＝±_221－cosα．1＋cosα
1－cosαα，cos＝±_22
α1－cosαsi
α上面的三个式子称为半角公式．同样有ta
＝＝．2si
α1＋cosα
1
f思考应用1．下列各式中恒成立的是Bα1－cosαA．ta
＝2si
ααC．ta
＝±21－cosα1＋cosαB．cos
2
α1＋cosα＝22
2ta
αD．ta
2α＝21－ta
α
α1－cosα解析：Ata
＝不恒成立．恒成立的条件是si
α≠0，2si
ααC．ta
＝±21－cosα不恒成立．恒成立的条件是cosα≠－1，1＋cosα
2ta
αD．ta
2α＝不恒成立．21－ta
α恒成立的条件是ta
α≠±1，B恒成立，故选B二、和差化积与积化和差公式的推导由si
α＋βsi
α－β
＝si

αcosβ＋cosαsi
β，
＝si

αcosβ－cosαsi
β得
1si
αcosβ＝si
α＋β21cosαsi
β＝si
α＋β2由cosα＋βcosα－β
＋si
α－si
α
－β－β
，①．②
＝cos
αcosβ－si
αsi
β，
＝cos
αcosβ＋si
αsi
β得
1cosαcosβ＝cosα＋β2
＋cosα
－β
，③．④
1si
αsi
β＝－cosα＋β2
－cosα
－β
上面的公式①②③④统称为积化和差公式．θ＋φθ－φ上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝φ，则有α＝，β＝，把α，22β代入上面的式子得到：θ＋φθ－φsi
θ＋si
φ＝2si
cos，⑤22θ＋φθ－φsi
θ－si
φ＝2cossi
，⑥22
2
fθ＋φθ－φcosθ＋cosφ＝2coscos，⑦22θ＋φθ－φcosθ－cosφ＝－2si
si
．⑧22上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．思考应用2．形如y＝asi
x＋bcosx的函数如何进行变换？解析：y＝asi
x＋bcosx＝a＋b
22
asi
x＋bcosx，22a2＋b2a＋b
a
22
∵－1≤
a＋b
≤1，－1≤
b
2
a＋b2
≤1，
且
a2b222＋22＝1，a＋ba＋b
aa＋b
22
∴不妨设cosθ＝
，si
θ＝
ba＋b2
2
，
则有y＝asi
x＋bcosx
22＝a＋bcosθsi
x＋si
θcor