韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用
【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零．一、弦长问题
【韦达特征】AB
1k2x1x224x1x2
1
1k2

y
1

y2
2

4
y1
y2

例1顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2xy40所得弦长为35，则抛
物线方程为
．
例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；x2y21
43（Ⅱ）若直线lykxm与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为
直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．207
二、弦的中点问题
【韦达特征】x0

x1
x22
y0

y12
y2
例2已知直线l与椭圆x2y21交于A、B两点，且线段AB的中点为P21，则直线164
l的方程是
．
三、垂直问题
【韦达特征】
（1）若OAOB，则：x1x2y1uyu2ur0
uuur
（2）若PAuuuruuur
PB
Pm


，则：
PA


x1

m
y1



PB

x2

m
y2



PAPBx1mx2my1
y2

x1x2mx1x2m2y1y2
y1y2
2
例3若直线l：yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点且以AB为直径的圆过原
点，求a的值（a1）
例5
设椭圆
x2a2

y2b2
1a
b
0的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，
AF2

F1F2，原点O到直线
AF1
的距离为
13
OF1
．
（Ⅰ）证明a2b；
（Ⅱ）求t0，b使得下述命题成立：设圆x2y2t2上任意点Mx0，y0处的切线交椭圆
于Q1，Q2两点，则OQ1OQ2．
f例6设动点P到点A1，0和B1，0的距离分别为d1和d2，APB2，且存在常数
01，使得d1d2si
2．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
uuuuruuur
（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定的范围，使OMON0，其
中点O为坐标原点．y
d1
P
AO
2
d2y
B
五、线段相等
【韦达特征】若PAPBPm
，AB中点为Mx0y0，则：
x0

x1x22

y0

y1
2
y2
且PM

ABkPMgkAB
1

y1y22
mx1x2
gkAB
1．
2
实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．
例8已知椭圆的一个顶点为A01，焦点在x轴上，且右焦点到直线xy220的距
离为3，试问能否找到一条斜率为kk0的直线l，使l与已知椭圆交于不同两点M、N且
满足AMAN．
四、对称问题（即垂直平分问题）【韦达特征】实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．
例7如图，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的r