的
p
2
F0
弦。设抛物线的方程为y2px（p0），过其焦点
2
且不垂直于x轴的直线交该
抛物线于A、B两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径
x1y
1
x2y
2
p
p
p
p
AF
x
1
2
x1
2
BFx
2
x2
，于是该抛物线的焦点弦长为
，
2
2
p
p
p
ABAFBFx1x2x1x2
2
2

注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦
点弦中最短的弦。设抛物线的方程为
2
y2px
pF0
2且垂直于x轴
（p0），过其焦点
的直线交该抛物线于
p
p
，
A、B两点（不妨令点
A
在
x
轴的上方），则A
2
p
、
B
2

p
ABpp2p
于是该抛物线的通径长为

四、与抛物线相关的几个重要结论
p
设抛物线的方程为
2
y
2px（p
0），点F20是其焦点，直线
xl：
p2
是其准线，
若过该抛物线焦点F的直线交该抛物线于

Ax1y、Bx2y两点（即线段AB是该抛物
1
2
线的焦点弦），并且点A、点B在其准线上的垂足分别为点C、点D，线段CD的中点为点
N，则可以证明：
（1）
y1y
2
AB
（2）
xx
2
12
p，
2；
p4
xxp
2p
（这里，
1
si
2
2
为直线AB的倾斜角）；
f3
f高中数学讲义之解析几何
SAOB
（3）
2（这里，
p2si

为直线AB的倾斜角）；
（4）以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线相切；
（5）ANB90，CFD90；（6）以线段CD为直径的圆切直线AB于点F
证明：由于当直线AB的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情
况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线
pF0
2
AB过点
，我们可巧设其方程为
xcot
py
2
，这里，
为直线AB的倾斜角
2
y
2px
p
2p
yp2
xcoty，得y2cot
0
（1）联立
2
由韦达定理，有
y1y
2
2pcot1
2
2
2
2
yyyyy
1
2
1
2
1
xx
1
2
故
2p2p2p
2
2
2
4pcot
2p
2
2pcotp
2p
2
2pcot，yy
p
1
1
2
2
2
y2yy2pcot
2
12
p
2p
2
1
2
p2cot
2
p
2
2
p

xx
2
2
yy
yy2
12

22
p
4
p
2
p
12
1
2
2p2p
2
4p
2
4p
4
2
p
4
p
p
（2）由抛物线的定义，有
ABAF
BF
AC
BD
x1

2
x2

2
p
p
p
pp
x1x2x1x2pcoty1coty2
2
2
2
2
2p
cot
2
2
2
yy2pcot2pcot2p2pcot12pcsc
1
2
SAOB1
（3）
OFy1y
2
2
1p22
2
yy
1
2
p
2
yy4yy
1
2
12
4
si

p
2
2
2pcot4p
4
fp
2
2
44pcot
ppp
2
2
2
4
4cot
4
pp
2
2
1
4csc
4
pp
2csc4
ppcsc
24
4
f高中数学讲义之解析几何
2
p12si

p
2
2si

（4）设AB的中点为
Mx0y
0
2
2
p
pxxpxxpp2cot1p2pcot1
21
则x0x
1
2
1
2
pr