圆锥曲线第2讲双曲线
知识要点一、双曲线的定义1双曲线的第一定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a〔02aF1F2〕的点的轨迹
叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值〔记作2a〕，不但要
小于这两个定点之间的距离F1F2〔记作2c〕，而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个
双曲线。具体情形如下：
〔〕当2a0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；〔〕当2a2c时，点的轨迹是两条射线；
〔〕当2a2c时，点的轨迹不存在；
〔〕当02a2c时，点的轨迹是双曲线。特别地，若去掉定义中的“绝对值，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。注2：若用M表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为MF1MF22a〔02a2c，F1F22c〕，即MF1MF2F1F2。2双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e〔e1〕的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程1双曲线的标准方程
x2（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是a2

y2b2
1〔a
0，b

0〕；

f
（2）焦点在
y轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是
y2a2

x2b2
1〔a0，b0〕
注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看实半轴跟
谁走。若实半轴跟x走，则双曲线的焦点在x轴；若实半轴跟y走，则双曲线的焦点在y轴。
2等轴双曲线
当双曲线的实轴与虚轴等长时〔即2a2b〕，我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标
准方程为x2y2〔0〕
注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为
x2y2〔0〕，再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进
一步讲，若求得的0，则该等轴双曲线的焦点在x轴、中心在坐标原点；若求得的0，
则该等轴双曲线的焦点在y轴、中心在坐标原点。
三、双曲线的性质
x2以标准方程a2

y2b2
1〔a
0，b0〕为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关
结论。
（1）X围：xa，即xa或xa；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左、右顶点分别为A1a0、A2a0；
（4）焦点：左、右焦点分别为F1c0、F2c0；
（5）实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c；
（6）实半轴a、虚半轴b、半焦距c之间的关系为c2a2b2；
xa2
（7）准线：
c；

f
b2（8）焦r