圆锥曲线第2讲双曲线
知识要点一、双曲线的定义1双曲线的第一定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a〔02aF1F2〕的点的轨迹
叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。注1:在双曲线的定义中,必须强调:到两个定点的距离之差的绝对值〔记作2a〕,不但要
小于这两个定点之间的距离F1F2〔记作2c〕,而且还要大于零,否则点的轨迹就不是一个
双曲线。具体情形如下:
〔〕当2a0时,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线;〔〕当2a2c时,点的轨迹是两条射线;
〔〕当2a2c时,点的轨迹不存在;
〔〕当02a2c时,点的轨迹是双曲线。特别地,若去掉定义中的“绝对值,则点的轨迹仅表示双曲线的一支。注2:若用M表示动点,则双曲线轨迹的几何描述法为MF1MF22a〔02a2c,F1F22c〕,即MF1MF2F1F2。2双曲线的第二定义:平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e〔e1〕的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程1双曲线的标准方程
x2(1)焦点在x轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是a2
y2b2
1〔a
0,b
0〕;
f
(2)焦点在
y轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是
y2a2
x2b2
1〔a0,b0〕
注:若题目已给出双曲线的标准方程,那其焦点究竟是在x轴还是在y轴,主要看实半轴跟
谁走。若实半轴跟x走,则双曲线的焦点在x轴;若实半轴跟y走,则双曲线的焦点在y轴。
2等轴双曲线
当双曲线的实轴与虚轴等长时〔即2a2b〕,我们把这样的双曲线称为等轴双曲线,其标
准方程为x2y2〔0〕
注:若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线,则我们可设该等轴双曲线的方程为
x2y2〔0〕,再结合其它条件,求出的值,即可求出该等轴双曲线的方程。进
一步讲,若求得的0,则该等轴双曲线的焦点在x轴、中心在坐标原点;若求得的0,
则该等轴双曲线的焦点在y轴、中心在坐标原点。
三、双曲线的性质
x2以标准方程a2
y2b2
1〔a
0,b0〕为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关
结论。
(1)X围:xa,即xa或xa;(2)对称性:关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称;
(3)顶点:左、右顶点分别为A1a0、A2a0;
(4)焦点:左、右焦点分别为F1c0、F2c0;
(5)实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c;
(6)实半轴a、虚半轴b、半焦距c之间的关系为c2a2b2;
xa2
(7)准线:
c;
f
b2(8)焦r