第二十三讲代数证明
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系.在初中阶段,要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明.恒等式的证明常用的方法有:1由繁到简,从一边推向另一边;2从左右两边人手,相向推进;
3作差或作商证明,即证明:左边一右边0,
左边右边
1右边
0
.
条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换,证明的关键是寻找条件与结论的联系,既要注意已知条件的变换,使之有利于应用;又要考虑求证的需求情况,使之有利于与已知条件的沟通.
代数证明不同于几何证明,几何证明有直观的图形为依托,而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用.
例题求解
【例1】1求证:xyz1113axa2aya2aza2xayazaa
(2)求证:a12b12ab124a1b1ab1.
a
b
ab
ab
ab
思路点拨1从较复杂的等式左边推向等式右边,注意左边每个分式分子与分母的联
系;2等式两边都较复杂,对左、右两边都作变形或作差比较.
注如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值,使得等式总能成立,那么这个等
式叫做恒等式.把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子,这种变形叫做恒等
变形,形变值不变是恒等变形的特点.
代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形,分解、换元、引参、配方、分
组、拆分,取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法.
【例2】已知xyab,且x2y2a2b2.
求证:x2001y2001a2001b2001.
黄冈市竞赛题思路点拨从完全平方公式入手,推出x、y与a、b间关系,寻找证题的突破口.【例3】有18支足球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队进行一场比赛,假设比赛的结果没有平局,如果用ai和bi,分别表示第iI1,2,3…18支球队在整个赛程中胜与负的局数.
求证:a12a22a182b12b22b182.
天津市竞赛题思路点拨作差比较,明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键.【例4】已知ax3by3cz3,且1111.
xyz
求证:3ax2by2cz23a3b3c.
f思路点拨条件中有一个连等式,恰当引入参数,把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式.
【例5】已知abc0,证明:四个数abc3、bca3、cab3、abc3
abc
abc
abc
abc
中至少有一个不小于6.
北京市竞赛题
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