第二十三讲
代数证明
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有：1由繁到简，从一边推向另一边；2从左右两边人手，相向推进；3作差或作商证明，即证明：左边一右边0，
左边右边1右边0
．
条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】1求证：
xaxa
2

yaya
b
2

zaza
2
2

1
1xa
2

1ya

1a
1za
b

1b
3a
ab1ab
（2）求证：a
1a

2
1b

ab
4a
．
ab
思路点拨1从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；2等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．注如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等
式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】已知x求证：x2001
y
2001
yab
，且x2．
y
2
a
2
b
2
．
a
2001
b
2001
黄冈市竞赛题思路点拨从完全平方公式入手，推出x、y与a、b间关系，寻找证题的突破口．【例3】有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用ai和bi，分别表示第iI1，2，3…18支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a12
a2
2
a18
2
b1
2
b2
2
b18
2
．
第1页（共5页）
f天津市竞赛题思路点拨作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．【例4】已知ax3求证：3
2
by
3
cz
3
，且
3
1x

1y

1z
1．
ax
by
2
cz
2

3
a
b
3
c
．
思路点拨条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．【例5】已知abc不小于6．北京市竞赛题思路点拨整体考虑，只需证明它们的和大于r