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第十五讲平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在边、角、对角线上,矩形、菱形是特殊的平行四边形,矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等,所以,它们既有平行四边形的性质,又有各自特殊的性质.
对角线是解决四边形问题的常用线段,对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小,连对角线后,平行四边形就产生特殊三角形,因此解平行四边形相关问题时,既用到全等三角形法,特殊三角形性质,又要善于在乎行四边形的背景下探索问题,利用平行四边形丰富的性质为解题服务.
熟悉以下基本图形、基本结论:
例题求解
【例1】如图,在矩形ABCD中,已知AD12,AB5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD
于E,PF⊥AC于F,那么PEPF的值为

全国初中数学联赛试题
思路点拨分别求出PE、PF困难,△AOD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解.
注特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化,相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体.因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质,所以人们也往往通过一般去了解特殊.
一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中,不斩地得到延伸与拓展.
【例2】已知四边形ABCD,从下列条件中:1AB∠CD,2BC∥AD;3ABCD;(4)BCAD;5∠A∠C;6∠B∠D.
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有()A.4种B.9种C.13种D.15种山东省竞赛题
思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定.【例3】】如图,在△ADC中,∠DAC90°,AD⊥BC,DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平
分线,BE和AD交于G,求证:GF∥AC.湖北省荆州市中考题
f思路点拨从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.
【例4】如图,设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,PG⊥EF于G点,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,求证:BC⊥BD,且BCBD.
全国初中数学联赛试题
思路点拨尽管图形复杂,但证明目标明确,只需证明△CPB≌△DPB,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形,充分运用它们的性质为证题服务.
【例5】如图,在等腰三角r
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