第十五讲平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．
熟悉以下基本图形、基本结论：
例题求解
【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD
于E，PF⊥AC于F，那么PEPF的值为
．
全国初中数学联赛试题
思路点拨分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．
注特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．
一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．
【例2】已知四边形ABCD，从下列条件中：1AB∠CD，2BC∥AD；3ABCD；（4）BCAD；5∠A∠C；6∠B∠D．
任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A．4种B．9种C．13种D．15种山东省竞赛题
思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．【例3】】如图，在△ADC中，∠DAC90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平
分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．湖北省荆州市中考题
f思路点拨从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．
【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BCBD．
全国初中数学联赛试题
思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．
【例5】如图，在等腰三角r