＝b＝c，a＋b＝c，试求
a与b的夹角．
解：设a＝mm0，a，b的夹角为θ，由题设知a＋b2＝c2，即2m2＋2m2c
osθ＝m2，得cos
θ
1＝－2又0°≤θ
≤180°，所以θ
＝120°，即a，b的夹角为120°
由题悟法713
f1．求两非零向量的夹角时要注意：1向量的数量积不满足结合律；2数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及a，b或得出它们的关系．
以题试法2．1设向量a＝x－11，b＝－x＋13，则a⊥a－b的一个充分不必要条件是A．x＝0或2B．x＝2C．x＝1D．x＝±22已知向量a＝10，b＝01，c＝a＋λbλ∈R，向量d如图所示，则
A．存在λ0，使得向量c与向量d垂直B．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为60°C．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为30°D．存在λ0，使得向量c与向量d共线解析：1选Ba＝x－11，a－b＝x－11－－x＋13＝2x－2，－2，故a⊥a－b2x－12－2＝0x＝0或2，故x＝2是a⊥a－b的一个充分不必要条件．2选D由图可知d＝4a＋3b＝4a＋34b，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有λ0；对于B，若λ0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60°；对于
813
fC，若λ0，则向量c与向量d夹角大于30°
平面向量的模
典题导入
20xx洛阳统考已知P为锐角三角形ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则
＋3的最小值为
A．43
B．47
C．6
D．63
因为＝－，所以＋32＝3－42＝9
2－24＋162设＝x，则＋32＝16×9－48x＋16x2＝16x2－3x＋9．因为三角形ABC是锐角三角形，所以0
x8，则当x＝32时，
＋3
2取得最小值为16×322－3×32＋9
＝108，故＋3的最小值为108＝63
D
由题悟法
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法
：1a2＝a2＝aa；2a±b2＝a±b2＝a2±2ab＋b2；
3若a＝x，y则a＝x2＋y2
以题试法
3．20xx聊城质检已知向量a＝si

x1，b＝cos
x，－12
1当a⊥b时，求a＋b的值；
913
f2求函数fx＝ab－a的最小正周期．解：1由已知得ab＝0，a＋b＝错误＝错误＝错误
＝
si
2x＋1＋cos2x＋14＝32
2∵fx＝ab－a2＝si
xcosx－12－si
2x－1
＝12si

2x－1－co2s
2x－32＝
22si
2x＋π4
－2，
∴函数fx的最小正周期为π
平面向量数量积的综合应用
典题导入
20xx太原模拟已知fx＝ab，其中a＝2cosx，－3si
2x，b＝cosx1x∈R．r