0则称与垂直,记作⊥。
两个非零向量垂直的充要条件:⊥
=O
,平面向量数量积的性质。
(7)平面内两点间的距离公式
设
,则
或
。
如果表示向量
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、
,那么
平面内两点间的距离公式。2.向量的应用(1)向量在几何中的应用;(2)向量在物理中的应用。二.典例分析
413
f1若向量a=1
1,b=25,c=3,x满足条件8a-bc=30,则x=
A.6
B.5
C.4
D.3
220xx湖南高考如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,
垂足为P,且AP=3,则=________18a-b=811-25=63,
所以8a-bc=633,x=30即18+3x=30,解得x=4
2法一:∵=+=++=++=
+++=2++,又由AP⊥BD得⊥且
⊥,
∴=0,且=0于是=2+
+=22=22=18
法二:=+
=++
=2+
=2
,
=2×
=2×2=2×32=18
1C218
由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法1已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式ab=abcosθ求解;
513
f2已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.以题试法
1.120xx天津高考在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2设点P,Q满足=λ,=1-λ,λ∈R若=-2,则λ=
A13
B23
4
C3
D.2
解析:选B由题意可知=-=1-λ-,
=-=λ-,且=0,故=-1-λ
2-λ
2=-2又
=1,
2=2,代入上式解得λ=3
220xx江西高考已知两个单位向量e1,e2的夹角为π3,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1b2=________
解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1b2=e1-2e23e1+4e2=3e21-2e1e2-8e2又因为e1,e2为单位向量,夹角为π3,
所以b1b2=3-2×12-8=3-1-8=-6
答案:-6
两平面向量的夹角与垂直
典题导入613
f120xx福州质检已知a=1,b=2,a与b的夹角为120°,a+b+c=0
,则a与c的夹角为
A.150°
B.90°
C.60°
D.30°
220xx新课标全国卷已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,
若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________
1∵ab=1×2×cos
120°=-1,c=-a-b,∴ac=a-a-b=-aa-ab=-1+1=0
,∴a⊥c
∴a与c的夹角为90°
2∵a与b是不共线的单位向量,∴a=b=1
又ka-b与a+b垂直,∴a+bka-b=0,
即ka2+kab-ab-b2=0
∴k-1+kab-ab=0
即k-1+kcosθ-cosθ=0θ为a与b的夹角.
∴k-11+cosθ=0又a与b不共线,
∴cosθ≠-1∴k=1
1B21
若本例1条件变为非零向量a,b,c满足ar