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2009届全国名校真题模拟专题训练08
三、解答题第二部分解答题第二部分第二部分
26、福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测已知椭圆C：
圆锥曲线
x2y2＋2＝1（a＞b＞0）的a2b
离心率为
6，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，两点，为弦AB的中点。BN3
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；使等式：（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）OM＝cosθOA＋si
θOB成立。解：1）设椭圆的焦距为2c因为
a2b22c6，所以有，故有a23b2。从而椭a33a2
①
圆C的方程可化为：x23y23b2易知右焦点F的坐标为（2b0），
………2分
据题意有AB所在的直线方程为：yx2b由①，②有：4x62bx3b0
22
②③
………3分
设Ax1y1Bx2y2，弦AB的中点Nx0y0，由③及韦达定理有：
x0
x1x232b2y0x02bb244
所以KON
y01，即为所求。3x0
………5分
2）显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数λ，使得等式OMλOAOB成立。设
Mxy，由1）中各点的坐标有：
xyλx1y1x2y2，所以
xλx1x2yλy1y2。
………7分
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又点在椭圆C上，所以有λx1x23λy1y23b整理为
222
λ2x123y122x223y222λx1x23y1y23b2。
由③有：x1x2
④
32b3b2。所以x1x224
⑤
x1x23y1y2x1x23x12bx22b4x1x232bx1x26b23b9b6b0
222
又AB在椭圆上，故有x13y13b2x23y23b2
2222
⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ221。
………11分
对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式OMλOAOB成立，而
λ221
在直角坐标系xoy中，取点P（λ），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，显然λcosθsi
θ。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：OM＝cosθOA＋si
θOB成立。27、福建省厦门市2008学年高三质量检查已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线ly2的距离小1。（1）求曲线C的方程；（2）过点P22的直线m与曲线C交于AB两点设APλPB①当λ1时求直线m的方程；②当△AOB的面积为42时（O为坐标原点），求λ的值。（1）解法一：设Mr