2009届全国名校真题模拟专题训练08
三、解答题第一部分解答题第一部分第一部分
圆锥曲线
1、广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考设F1、F2分别是
椭圆
x2y21的左、右焦点54
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得F2CF2D？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解：（Ⅰ）易知a
5b2c1∴F110F210
22
设P（x，y），则PF1PF21xy1xyxy1
x24
421x1x2355
Qx∈55，
∴当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值3；
当x±5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为ykx5
x2y21由方程组5，得5k24x250k2x125k22004ykx5
依题意201680k20，得
55k55
当
55时，设交点Cx1y1、Dx2y2，CD的中点为Rx0y0，k55
x1x250k225k2则x1x2x0225k245k4
∴y0kx05k25k220k525k245k4
f又F2CF2DF2R⊥lkkF2R1
∴kkF2R
20k25k2420kk125k2420k2125k40
∴20k220k2－4，而20k220k2－4不成立，所以不存在直线l，使得F2CF2D综上所述，不存在直线l，使得F2CF2D2、江苏省启东中学高三综合测试二已知动圆过定点P（1，0），且与定直线Lx1相切，点C在l上1求动圆圆心的轨迹M的方程；
2设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于AB两点
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围解：1依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y24x
2i由题意得直线AB的方程为y3x1由y23x1消去y得y4x
1123163x210x30解得x1x23所以AB323ABx1x223333假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则BCAB且ACAB，即
1622231y2334223214322122162相减得4y233y3解得y9不符舍21y33r