；
　　级数：
1
2
收敛；
　　p级数：
1
p
　　ｐ１时发散p1时收敛
幂级数：
1
x

x2

x3

x

　　x
1时，收敛于11x
x1时，发散
对于级数3a0a1x　a2x2a
x
，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。
xR时不定
求收敛半径的方法：设lima
1
a

，其中a
，a
1是3的系数，则
0时，R1
0时，R时，R0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：fx
fx0xx0
f
x02


x

x0
2

f

x0



x

x0




余项：R


f
1
1
x

x0

1
f
x可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim

R

0
x0
0时即为麦克劳林公式：fx
f0
f0x
f0x22

f
0x


一些函数展开成幂级数：
1xm1mxmm1x2mm1m
1x
　　　1x1
2


si
xxx3x51
1x2
1　　　x
35
2
1
欧拉公式：
eix

c
os
x

i
s
i

x　　　或cosx
si
x

eixeix
eix2eix2
三角级数：
ff
t

A0


1
A

si
t


a02


a

1
cos
xb

si
x
其中，a0aA0，a
A
si
，b
A
cos
，tx。
正交性：1si
xcosxsi
2xcos2xsi
xcos
x任意两个不同项的乘积在
上的积分＝0。
傅立叶级数：
f
x

a02


a
cos
xb
si
x，周期2
1

a
其中
b


1
1


ff
xcos
xdx　　　
012xsi
xdx　　　
123
1　
132

152

28
1112
224262
24
1
122

132

142


2
（相加）
6
1
1

1

1




2
（相减）
223242
12
正弦级数：a

0，b


2
0
f
xsi
xdx　　

123　f
x
b
si
x是奇函数
余弦级数：b

0，a

20
fxcos
xdx　　
012　fx
a02

a
cos
x是偶函数
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：yfxy　或　PxydxQxydy0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gydyfxdx的形式，解法：
gydyfxdx　　得：GyFxC称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfxyxy，即写成y的函数，解法：
dx
x
设uy，则dyuxdu，uduu，dxdu分离变量，积分后将y代替u，
x
dx
dx
dx
xuu
x
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：dyPxyQxdx
当Qx0时为齐次方程，yCePxdx
当Qx0时，为非齐次方程，yQxePxdxdxCePxdx
2、贝努力方程：dyPxyQxy
，
01dx
全微分方程：
如果PxydxQxydy0中左端是某函数的全微分方程，即：
duxyPxydxQxydy0，其中：uPxy，uQxy
x
y
uxyC应该是该全微分方程的通r