D

12
xdy
L
ydx
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、Pxy，Qxy在G内具有一阶连续偏导数，且Q＝P。注意奇点，如00，应xy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
在Q＝P时，PdxQdy才是二元函数uxy的全微分，其中：xy
xy
uxyPxydxQxydy，通常设x0y00。x0y0
曲面积分：
对面积的曲面积分：fxyzdsfxyzxy
1

z
2x
x
y

z
2y
x
ydxdy

Dxy
对坐标的曲面积分：PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy，其中：
RxyzdxdyRxyzxydxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy
PxyzdydzPxyzyzdydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz
QxyzdzdxQxyzxzdzdx，取曲面的右侧时取正号。

Dzx
两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds


高斯公式：


Px

Qy

Rz
dv



Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

P

cos

Q
cos


R
cos
ds
高斯公式的物理意义通量与散度：
散度：div


P

Q

R
即：单位体积内所产生的流体质量，若div


0则为消失
xyz
通量：
A


ds


A
ds


P
cos

Q
cos


R
cos
ds，




因此，高斯公式又可写成：divAdvA
ds


f斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：


Ry

Qz
dydz

Pz

Rx
dzdx

Qx

Py
dxdy



Pdx

Qdy

Rdz
dydzdzdxdxdycoscoscos
上式左端又可写成：
x
y
z

x
y
z
PQR
PQR
空间曲线积分与路径无关的条件：RQ，　PR，　QPyzzxxy
ijk
旋度：rotA



xyz
PQR

向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx

Qdy

Rdz


A

tds


常数项级数：
等比数列：1qq2q
11q
1q
等差数列：123
1
2
调和级数：1111是发散的
23


级数审敛法：
1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：
1时，级数收敛
设：

lim


u
，则1时，级数发散

1时，不确定
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
设：limU
1，则1时，级数发散
U


1时，不确定
3、定义法：
s


u1
u2

u


lim

s
存在，则收敛；否则发散。
交错级数u1u2u3u4或u1u2u3u
0的审敛法莱布尼兹定理：如果交错级数满足l
uim
u
u
10，那么级数收敛且其和su1其余项r
的绝对值r
u
1。
绝对收敛与条件收敛：
f1u1

u2

u


，
其中u
为任

意实
数；
2u1u2u3u

如果2收敛，则1肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果2发散，而1收敛，则称1为条件收敛级数。
调和
级数
：
1

发
散，
而
1


收敛r