dxdl
ta
xcosxsi
x
3、有特殊技巧的积分
1

a
si

dxxb
cos
x

1
1dx
a2b2si
x
2

csi
asi

xx
db
coscos
xx
dx

Ax

B
l

a
si

x

b
cos
x
C
3
x2x4
1dx1

1
dx1
x1222
x
x
第五章定积分
1、基本概念
ba

fxdxlim0i1
fixi

lim
0i1
fi1

FbFaFx
ba

Fxfx
连续可积有界有限个间断点可积可积有界连续原函数存在
x
xaftdtxfx
d
x
ftdtfxxfxx
dxx
a

a
a
bfxdxfttdt，buxdvxuxvxbvxdux
2、常用定积分公式：
a
a
fxdxfxfxdx；
a
0
fx为偶函数afxdx2afxdx；fx为奇函数afxdx0
a
0
a
f
2fsi
xdx

2fcosxdx；


2xfsi
xdx


2fsi
xdx2fsi
xdx
0
0
0
20
0
aT
T
T
a
T
T
a
fxdx
0
fxdx
2T
fxdx；
a
fxdx
fxdx0
2
Wallis
公
式
：
I

2si
xdx
0
20
cos

xdx


1
I
2

2

12

34

24

3
1
为正偶数
2
3
1
为正奇数
35
2

无穷限积分：

b
fxdxlimfxdxFFa
a
ba
b
b
fxdxlimfxdxFFa

aa

b
b
fxdxlimfxdxlimfxdxFF

ba
aa
瑕积分：
b
b
fxdxlimfxdxFblimFt
a
tat
ta
b
t
fxdxlimfxdxlimFtFa
a
tba
tb
b
c
b
afxdxafxdxcfxdx
1dxp1收敛p1发散；11dx0p1收敛p1发散
axp
axp

exx
1dx
1
1

110
1ex2dx
2
0
2
第六章定积分应用
1、平面图形的面积：
直角坐标情形：A
bfxdx；A
bfxgxdx；A
d
yydy
a
a
c
参数方程情形：A

tdt

ttdtab


极坐标情形：A12d22、空间立体的体积：
f由截面面积：V
b
Axdx
a
V
b

f
2xdxV

bf2xg2xdxx为积分变量
旋转体：绕x轴旋转：a
a
V
d
2yydyV
d2yyydyy为积分变量
c
c
V
b
2xfxdx
b
2x
fxgxdxx为积分变量
绕y轴旋转：a
a
Vd2y2ydyy为积分变量c
3、平面曲线的弧长：
s2t2tdtb1f2xdx22d

a

变力做功：W
b
Fxdx
a
抽水做功：克服重力做功质量g高度dWdMghdVgh
液体压力做功：压力压强面积，dFpdAghdA
第七章向量代数与空间解析几何
两点间距离公式：M1M2x1x22y1y22z1z22，
aaxayazaxiayjazkbbxbybzbxibyjbzk
abaxbxaybyazbzaaxayaz
cosax
ax

a
ax2

a
2y

az2
方向余弦：cosay
ay
r