第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题（预赛）
（2017年10月28日）
先自己做一遍，别看答案。填空题分值很高；有原题；不难。斯托克斯公式应会让很多同学忽略。
一、填空题（本题满分42分，共6小题，每小题7分）
1、已知可导函数
f
x
满足
f
xcos
x

x
20
f
tsi

tdt

x
1
则fx__________。
2、极限limsi
2
2
____________。

3、设wfuv具有二阶连续偏导数，且uxcyvxcy，其中c为非零常
数，则
wxx

1c2
wyy
_____________。
4、设fx有二阶连续导数，且f0f（、0）0，f06，则
f
lim

si
2xx4
___________。
esi
xsi
2x
5、不定积分I1si
x2dx______________。
6、记曲面z2x2y2和z4x2y2围成空间区域为V则三重积分
zdxdydz_________。V
二、（本题拿满分14分）设二元函数fxy在平面上有连续的二阶偏导数，则任何角度定义一元函数，gtftcos，tsi
，若对任何都有
fdgt0且d2gt0，证明f00是fxy的极小值。
dt
dt2
三、（本题满分14分）（斯托克斯公式，以前没考过的。）
设曲线为在x2y2z21xz1x0y0z0上从A100到B001）的
一段，求曲线积分Iydxzdyxdz。
四、（本题满分15分）设函数fx0且在实数轴上连续，若对任意实数t，有
etx
，则abab，有
fxdx1
ba
f
xdxba2。
2
五、（本题满分15分）设a
为一个数列，p为固定的正整数，若
lim

a
pa

，其中为常数，证明lima
。
p
fr