64离散系统的数学模型
为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
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线性常系数差分方程及其解法
对于线性定常离散系统，k时刻的输出ck，不但与k时刻的输入rk有关，而且与k时刻以前的输入rk1
rk2有关，同时还与k时刻以前的输出
m
ck1ck2有关。这种关系一般可以用
阶后向差分方程来描述，即
ck∑aicki∑bjrkj
i1j0
634
式中，ai，i1，2，…，
和bj，j＝0，1，…，m为常系数，m≤
。式634称为
阶线性常系数差分方程。线性定常离散系统也可以用
阶前向差分方程来描述即
ck
∑aick
i∑bjrkmj
i1j0


m
635
工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z变换法。1迭代法若已知差分方程式634或式635，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。例610已知二阶差分方程
ckrk5ck16ck2
输入序列rk1，初始条件为c00
c11，试用迭代法求输出序列ck，
k012345。
解根据初始条件及递推关系，得
232
fc00c11c2r25c16c06c3r35c26c125c4r45c36c290c5r55c46c3301

2z变换法设差分方程如式634所示，对差分方程两端取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解Cz取z反变换，可求得输出序列ck。例611试用z变换法解下列二阶差分方程：
ck22ck1ck0
设初始条件c00解
c11。
对差分方程的每一项进行z变换，根据实数位移定理：
Zck2z2Czz2c0zc1z2CzzZ2ck12zCz2zc02zCzZckCz
于是，差分方程变换为关于z的代数方程
z22z1Czz
解出
Cz
查z变换表，求出z反变换
zzz2z1z12
2
ct∑
δt

0
∞
差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出响应序列特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型脉冲传递函数。
233
f642
脉r