44利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。
441利用闭环主导极点估算系统的性能指标
如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。例410已知单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
Kss105s1
试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比ξ05的
K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。
解将开环传递函数写成零、极点形式，得
2KKGsss1s2ss1s2）
式中，K2K为根轨迹增益。⑴将开环零、极点在s平面上标出；⑶实轴上的根轨迹区段为：∞2，10；⑵
3，有三条根轨迹分支，三条根轨迹均趋向于无穷远处；
⑷渐近线：
12σa312k1π±ππa33
1110dd1d2
⑸分离点：整理得解得
3d26d20
d11577
d20432
显然分离点为d0432，由幅值条件可求得分离点处的K值：
Kddd1d204
⑹与虚轴的交点：闭环特征方程式为
fDss33s22sK0
令
2ReDjω3ωK0ImDjωω32ω0
解得系统根轨迹如图416所示。
ω±2K6
从根轨迹图上可以看出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为04K6，相应开环增益

范围为02K3。为了确定满足阻尼比ξ05条件时系统的3个闭环极点，首先做出ξ05的等阻尼线OA，它与负实轴夹角为
βarccosξ60
如图416所示。等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为
λ1ξω
jω
1ξ205ω
j0866ω
λ2ξω
jω
1ξ205ω
j0866ω
闭环特征方程式为
Dssλ1sλ2sλ3
22s3ω
λ3s2ω
λ3ω
sλ3ω

s33s22sK0
比较系数有
ω
λ332ω
λ3ω
22λ3ω
K
f解得
2ω
3λ3233K104
故ξ05时的K值以及相应的闭环极点为
KK2052
λ1033j058，λ2033j058，λ3233
在所求得的3个闭环极点中，λ3至虚轴的距离与λ1（或λ2）至虚轴的距离之比为
234≈7（倍）033
可见，λ1、λ2是系统r