由∑U
2收敛，∑
1
1收敛，知2
1

∞
∞U1211收敛，故∑
收敛，∑2U
2
2
1
1
∞
∞
因而∑
U
绝对收敛．
1

303
f21．若级数∑a
与∑b
都绝对收敛，则函数项级数∑a
cos
xb
si
x
1
1
1
∞
∞
∞
在R上一致收敛．证：U
xa
cos
xb
si
x，x∈R有
U
xa
cos
xb
si
x≤a
cos
xb
si
x≤a
b

由于∑a
与∑b
都绝对收敛，故级数∑a
b
收敛．
1
1
1
∞
∞
∞
由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数∑a
cos
xb
si
x在R上一
1
∞
致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：13
3∑
1x
；
11
∞

2
∑si
2
1
∞
π

x1
；
x1
∑
22
1
∞
lim解：1ρ
→∞
a
1a

1
lim3
31
→∞
2

13
1


3
113
31
1limlimlim
→∞
→∞
→∞
2
23
1


3e1e3
∴R
1
ρ

3，3


∞∞3又当x±时，级数变为∑3
1±3∑±1
3
3，3
1
13
13
3
因为
→∞3
3elim3
3


333
≠0
304
f所以当x±33．33
33，级数发散，故原级数的收敛半径R，收敛域33
ππsi
1a
12lim2
112ρ
→∞limlim
→∞
→∞ππa
2si

22
故R
1
ρ
2，si
π2
π≠0．π2
∞
π又∵limsi
2
limπ
→∞
→∞2
所以当x1±2时，级数∑si

1
π
发散，
x12
从而原级数的收敛域为2x12，即3x1，即313ρ
→∞lim
a
1
22
1lim2
1
→∞a
2
12
∴R2，收敛区间2x12，即1x3．当x1时，级数变为∑1

1∞
1，其绝对收敛，当x3时，级数变为
2
∑

1
∞
1
2
，收敛．
因此原级数的收敛域为13．23．将函数Fx∫0
∞
x
arcta
tdt展开成x的幂级数．t
解：由于arcta
t∑1

0
t2
12
1
305
f所以Fx∫0
x
x∞arcta
tt2
dt∫∑1dt0t2
1
0x

∞t2
x2
1
∑∫1dt∑102
12
12
0
0∞
（x≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：
∞1∑1
，x∈3∞；
1
x3
2∑

，x∈2∞；
1x
∞
3
∑
1
∞

22x
x
122
，x∈∞∞；
111
1
x3333


解：1考虑
≥2时，当xr