≥3时，有1

x3
而∑
1
∞
3
∞收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数∑1
在3∞上一
1
1

1
x3
致收敛．2当x2时，有


2x

1∞
11
lim由
→∞21知级数∑
收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数
2
12
2
∑x
1
∞



在2∞上一致收敛．
x
x
1
2222
3x∈R有而∑
∞
≤


1
22


134

∞1
收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数∑222在32
1
1x
x
1
∞∞上一致收敛．25．求下列级数的和函数：
306
f1∑1
1
1∞
∞
x2
；2
1
2∑
x2
1；
02
1
∞
3∑
∞x
x
1；4∑．
1
1
1
1


解：1可求得原级数的收敛半径R1，且当x1时，级数
∑1
1
∞

1
1是收敛的交错级数，故收敛域为112
1
∞∞x2
x2
1x∑1
1xS1x2
12
1
1∞
记Sx∑1
1
1
则S100S1′x∑1
1x2
2
1
11x2
所以S1xS10∫0
x
1dxarcta
x1x2
即S1xarcta
x，所以Sxxarcta
x，x∈11．2可求得原级数的收敛半径R1，且当x1时，原级数发散．记
Sx∑
∞x2
11则S′x∑x2
1x2
0
02
1∞
x
111x11xdxl
，即SxS0l
，S0021x21x21x11x所以Sxl
，x121x
1∞
1
3由
→∞a
→∞
0知收敛域为∞∞．记Sx∑limlimx
1
a
1
1
1
∫
x
0
S′xdx∫
0
则∫0Sxdx∑
x
1
∞
x

1
x∑
1
∞
x
1

1
xex，所以
Sxxex′1xex，∞x∞
14由lim
1
21知收敛半径
→∞1
1
R1，当x1时，级数变为
307
f∑
1
1
∞
1
，由
1
1

∞
1知级数收敛，x1时，当级数变为∑1
2
1
1
是收敛的交错级数，故收敛域为11．
x
1记Sx∑则S00，xSx∑，
1
1
1
1
∞
x

∞
∞1（x≠1）xSx′′∑x
11x
1
所以∫0xSx′′dxl
1x
x
即xSx′l
1x
′∫xSxdx∫
x0x0
l
1xdx1xl
1xx
即xSx1xl
1xx当x≠0时，Sx11l
1x，又当x1时，可求得S11
1x

（∵
→∞Sx
→∞1limlim

11）
1
综r